реши быстрее срочно надо

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1
$\angle NMK=60^\circ$, $MO$ — ?
[Рисунок: треугольник $MNK$; окружность с центром $O$ касается сторон $MN$ и $MK$ в точках $N$ и $K$; на отрезке $ON$ отмечено 10.]

2
$\angle MKN=66^\circ$, $\angle FNO$ — ?
[Рисунок: треугольник $KMN$; $E$ лежит на $MN$, $F$ — на $KN$; отрезки $KE$ и $MF$ пересекаются в точке $O$; отмечены прямые углы при $E$ и $F$.]

3
$\angle MCB_{1}$ — ?
[Рисунок: треугольник $ABC$; $A_{1}$ лежит на $BC$, $B_{1}$ — на $AC$; отрезки $AA_{1}$ и $BB_{1}$ пересекаются в точке $M$; угол при $M$ отмечен 125°; проведён отрезок $CM$.]

4
$MK=17$, $CK$ — ?
[Рисунок: треугольник $MKN$; $C$ лежит на $MK$, $D$ — на $MN$; $CD\perp MN$; на $CN$ отмечено 10; точка $D$ отмечена как середина $MN$.]

Answer

Ответы: 1) 20; 2) 24°; 3) 35°; 4) 7. Ниже — первые четыре задачи.

1. $MO=20$.
$MO$ — биссектриса угла между касательными, $ON\perp MN$. В прямоугольном $\triangle MON$:
$$
\angle OMN=30^\circ,\quad ON=10.
$$
Тогда
$$
\sin30^\circ=\frac{ON}{MO}=\frac{10}{MO}
\Rightarrow MO=20.
$$

2. $\angle FNO=24^\circ$.
$O$ — ортоцентр, поэтому $NO\perp MK$. Угол между $NK$ и перпендикуляром к $MK$ равен
$$
90^\circ-66^\circ=24^\circ.
$$
Луч $NF$ идёт по $NK$, значит $\angle FNO=24^\circ$.

3. $\angle MCB_1=35^\circ$.
$M$ — точка пересечения биссектрис. Для двух биссектрис:
$$
\angle AMB=90^\circ+\frac{\angle C}{2}.
$$
По рисунку $\angle AMB=125^\circ$:
$$
125^\circ=90^\circ+\frac{\angle C}{2}
\Rightarrow \frac{\angle C}{2}=35^\circ.
$$
$CM$ — биссектриса угла $C$, а $B_1$ лежит на $CA$, поэтому
$$
\angle MCB_1=35^\circ.
$$

4. $CK=7$.
$CD\perp MN$, причём $D$ — середина $MN$; значит, $CD$ — серединный перпендикуляр к $MN$. Точка $C$ лежит на нём, поэтому
$$
CM=CN=10.
$$
Тогда
$$
CK=MK-CM=17-10=7.
$$

Остальные номера на фото мельче; пришли их крупнее — продолжу.

реши быстрее срочно надо

Обсуждение