408. Сравните значения выражений: 409. Расположите в порядке возрастания числа:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Сравните значения выражений: a) \(\frac{1}{3}\sqrt{351}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{188}\); б) \(\frac{1}{3}\sqrt{54}\) и \(\frac{1}{5}\sqrt{150}\); в) \(\sqrt{24}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{216}\); г) \(\frac{2}{3}\sqrt{72}\) и \(7\sqrt{\frac{2}{3}}\).
Расположите в порядке возрастания числа: a) \(3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{6}\), \(\sqrt{29}\), \(4\sqrt{2}\), \(2\sqrt{11}\); б) \(6\sqrt{2}\), \(\sqrt{58}\), \(3\sqrt{7}\), \(2\sqrt{14}\), \(5\sqrt{3}\); в) \(-\sqrt{11}\), \(-2\sqrt{5}\), \(\sqrt{2}\), \(-2\sqrt{6}\), \(-\sqrt{51}\); г) \(-\sqrt{83}\), \(-9\sqrt{2}\), \(-\sqrt{17}\), \(-5\sqrt{8}\), \(-\frac{1}{3}\sqrt{18}\).
На фото полностью читаются номера 408 и 409; номер 410 обрезан, поэтому его по видимому фрагменту не решить.
408. Сравнение
Краткий ответ:
\[ \text{а) }<,\qquad \text{б) }=,\qquad \text{в) }=,\qquad \text{г) }<. \]
Для положительных чисел \(A\) и \(B\):
\[ A<B \iff A^2<B^2. \]
Поэтому можно сравнивать квадраты, а множитель перед корнем — вносить под корень.
а)
\[ \frac13\sqrt{351}=\sqrt{\frac{351}{9}}=\sqrt{39}, \qquad \frac12\sqrt{188}=\sqrt{\frac{188}{4}}=\sqrt{47}. \]
Так как \(39<47\), первое выражение меньше.
б)
\[ \frac13\sqrt{54}=\sqrt{\frac{54}{9}}=\sqrt6, \qquad \frac15\sqrt{150}=\sqrt{\frac{150}{25}}=\sqrt6. \]
Значения равны.
в)
\[ \sqrt{24}=2\sqrt6, \qquad \frac13\sqrt{216}=\frac13\cdot 6\sqrt6=2\sqrt6. \]
Значения равны.
г)
\[ \left(\frac23\sqrt{72}\right)^2 =\frac49\cdot 72=32, \]
\[ \left(7\sqrt{\frac23}\right)^2 =49\cdot \frac23=\frac{98}{3}. \]
Поскольку
\[ 32=\frac{96}{3}<\frac{98}{3}, \]
то
\[ \frac23\sqrt{72}<7\sqrt{\frac23}. \]
Проверка: \(\frac23\sqrt{72}\approx5{,}66\), а \(7\sqrt{\frac23}\approx5{,}72\).
409. Расположить в порядке возрастания
а)
Переведём все числа под общий квадратный корень:
\[ 3\sqrt3=\sqrt{27}, \quad 2\sqrt6=\sqrt{24}, \quad \sqrt{29}, \quad 4\sqrt2=\sqrt{32}, \quad 2\sqrt{11}=\sqrt{44}. \]
Подкоренные числа возрастают так:
\[ 24<27<29<32<44. \]
Значит:
\[ \boxed{2\sqrt6,\ 3\sqrt3,\ \sqrt{29},\ 4\sqrt2,\ 2\sqrt{11}}. \]
б)
\[ 6\sqrt2=\sqrt{72},\quad \sqrt{58},\quad 3\sqrt7=\sqrt{63},\quad 2\sqrt{14}=\sqrt{56},\quad 5\sqrt3=\sqrt{75}. \]
Так как
\[ 56<58<63<72<75, \]
получаем:
\[ \boxed{2\sqrt{14},\ \sqrt{58},\ 3\sqrt7,\ 6\sqrt2,\ 5\sqrt3}. \]
в)
Запишем отрицательные числа с минусом перед корнем:
\[ -\sqrt{11},\quad -2\sqrt5=-\sqrt{20},\quad \sqrt2,\quad -2\sqrt6=-\sqrt{24},\quad -\sqrt{51}. \]
У отрицательных чисел порядок обратный: чем больше подкоренное число, тем меньше само значение. Поэтому:
\[ \boxed{-\sqrt{51},\ -2\sqrt6,\ -2\sqrt5,\ -\sqrt{11},\ \sqrt2}. \]
г)
\[ -\sqrt{83},\quad -9\sqrt2=-\sqrt{162},\quad -\sqrt{17},\quad -5\sqrt8=-\sqrt{200},\quad -\frac13\sqrt{18}=-\sqrt2. \]
Сравниваем модули:
\[ 200>162>83>17>2, \]
поэтому в порядке возрастания:
\[ \boxed{-5\sqrt8,\ -9\sqrt2,\ -\sqrt{83},\ -\sqrt{17},\ -\frac13\sqrt{18}}. \]
Обсуждение
3 сообщенияНа фото видны номера 407–410. В 407 е) правая часть обрезана, поэтому этот пункт решить полностью нельзя — пришлите его отдельно.
407. Сравнить
Для положительных чисел вносим множитель под корень.
- а) \(3\sqrt{3}=\sqrt{27}>\sqrt{12}\)
- б) \(\sqrt{20}<3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)
- в) \(5\sqrt{4}=\sqrt{100}>\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
- г) \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}>\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
- д) \(-\sqrt{14}>-3\sqrt{2}\), так как \(|-3\sqrt{2}|\) больше
- е) не видно конца условия
408. Сравнить
- а) \(\frac13\sqrt{351}=\sqrt{39}<\sqrt{47}=\frac12\sqrt{188}\)
- б) \(\frac13\sqrt{54}=\sqrt{6}=\frac15\sqrt{150}\) — равны
- в) \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}=\frac13\sqrt{216}\) — равны
- г)
\[ \left(\frac23\sqrt{72}\right)^2=32,\qquad \left(7\sqrt{\frac23}\right)^2=\frac{98}{3} \] поэтому
\[ \frac23\sqrt{72}<7\sqrt{\frac23} \]
409. В порядке возрастания
- а)
\[ 2\sqrt{6},\ 3\sqrt{3},\ \sqrt{29},\ 4\sqrt{2},\ 2\sqrt{11} \] - б)
\[ 2\sqrt{14},\ \sqrt{58},\ 3\sqrt{7},\ 6\sqrt{2},\ 5\sqrt{3} \] - в)
\[ -\sqrt{51},\ -2\sqrt{6},\ -2\sqrt{5},\ -\sqrt{11},\ \sqrt{2} \] - г)
\[ -5\sqrt{8},\ -9\sqrt{2},\ -\sqrt{83},\ -\sqrt{17},\ -\frac13\sqrt{18} \]
410. Верны ли равенства
Все три равенства верны:
\[ \sqrt{2\frac23}=\sqrt{\frac83}=2\sqrt{\frac23}, \]
\[ \sqrt{3\frac38}=\sqrt{\frac{27}{8}}=3\sqrt{\frac38}, \]
\[ \sqrt{4\frac4{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=4\sqrt{\frac4{15}}. \]
Общий вид: \[ \sqrt{n\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}. \]
Пришлите правую часть пункта 407 е) — допишу его.
