реши все быстрее

Question

реши все быстрее

Расшифровка фото нейросетью:
2
$\angle MKN = 66^\circ$, $\angle FNO$ — ?
[Рисунок: треугольник MKN; вершина M вверху, K слева внизу, N справа внизу. На сторонах отмечены точки: P на MK, E на MN, F на KN. Отрезки MF, KE и NP пересекаются в точке O; при E и F отмечены прямые углы.]

3
$\angle MCB_{1}$ — ?
[Рисунок: треугольник ABC; внутри точка M; $B_{1}$ лежит на AC, $A_{1}$ — на BC; через M проходят отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CM$. Угол $\angle AMB=128^\circ$. У вершин A и B нанесены отметки равных углов.]

4
$MK = 17$, $CK$ — ?
[Рисунок: треугольник MKN; точка C лежит на MK, точка D — на MN; $MD = DN$ (отмечены равные отрезки), $CD \perp MN$; $CN = 10$.]

Answer

Полностью видимые задания — №2–№4. Самый верхний фрагмент обрезан, его условия не видно.

Ответ: №2 — $24^\circ$; №3 — $38^\circ$; №4 — $7$.

№2. По рисунку $MF$, $KE$, $NP$ — высоты, $O$ — точка их пересечения.

В прямоугольном треугольнике $KPN$:
$$
\angle PKN=\angle MKN=66^\circ,
$$
поэтому
$$
\angle KNP=90^\circ-66^\circ=24^\circ.
$$
Лучи $NF$ и $NK$ совпадают, а $NO$ и $NP$ совпадают, значит
$$
\angle FNO=24^\circ.
$$

№3. По дужкам на рисунке $M$ — точка пересечения биссектрис, то есть инцентр треугольника $ABC$. Для инцентра:
$$
\angle AMB=90^\circ+\frac{\angle C}{2}.
$$
Подставляем $128^\circ$:
$$
128^\circ=90^\circ+\frac{\angle C}{2}
\quad\Rightarrow\quad
\angle C=76^\circ.
$$
Так как $CM$ — биссектриса угла $C$, а $B_1$ лежит на $AC$, то
$$
\angle MCB_1=\angle MCA=\frac{76^\circ}{2}=38^\circ.
$$

№4. Точка $D$ — середина $MN$, и $CD\perp MN$, значит $CD$ — серединный перпендикуляр к $MN$. Поэтому точка $C$ равноудалена от $M$ и $N$:
$$
CM=CN=10.
$$
Точка $C$ лежит на отрезке $MK$, поэтому
$$
MK=MC+CK,
$$
$$
17=10+CK,
$$
$$
CK=7.
$$

реши все быстрее

Обсуждение