133 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Краткий ответ: да, в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Доказательство. Пусть \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\), а \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, проведённые соответственно к равным сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\), причём \(D\in BC\), \(D_1\in B_1C_1\).

Из равенства треугольников: \[ AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1. \]

Так как \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, то \[ \angle BAD=\frac12\angle A=\frac12\angle A_1=\angle B_1A_1D_1. \] Кроме того, поскольку \(D\) лежит на \(BC\), а \(D_1\) — на \(B_1C_1\): \[ \angle ABD=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle A_1B_1D_1. \]

Значит, у треугольников \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны сторона \(AB\) и два прилежащих к ней угла. По второму признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABD=\triangle A_1B_1D_1. \] Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ AD=A_1D_1. \]

То же рассуждение повторяется для биссектрис, проведённых из других вершин. Ч. т. д.