133 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Краткий ответ. Да, соответствующие биссектрисы равны.

Доказательство. Пусть
\[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1, \] причём \(A\leftrightarrow A_1,\ B\leftrightarrow B_1,\ C\leftrightarrow C_1\). Проведём биссектрисы \(AD\) и \(A_1D_1\) к соответственно равным сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\).

1. Из равенства треугольников: \[ AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1. \]

2. Так как \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, они делят равные углы пополам: \[ \angle BAD=\frac12\angle A=\frac12\angle A_1=\angle B_1A_1D_1. \]

3. Точки \(D\) и \(D_1\) лежат на сторонах \(BC\) и \(B_1C_1\), поэтому \[ \angle ABD=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle A_1B_1D_1. \]

4. В треугольниках \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\):

• \(AB=A_1B_1\);
• \(\angle ABD=\angle A_1B_1D_1\);
• \(\angle BAD=\angle B_1A_1D_1\).

Значит, эти треугольники равны по второму признаку — по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ AD=A_1D_1. \]

Для двух других пар биссектрис рассуждение точно такое же — нужно только переобозначить вершины.

Проверка. В доказательстве нигде не понадобилось вычислять углы или длины: важно только, что биссектриса делит угол пополам, а у равных треугольников соответствующие стороны и углы равны.