В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BM\) и высота \(BH\). Известно, что \(AC = 84\) и \(BC = BM\). Найдите \(AH\). [Рисунок: треугольник \(ABC\); вершина \(B\) соединена с точками \(M\) и \(H\) на основании \(AC\); точки расположены в порядке \(A\), \(M\), \(H\), \(C\); \(BH\) перпендикулярна \(AC\), прямой угол отмечен у \(H\).]
Краткий ответ: \(AH=63\).
\(BM\) — медиана, поэтому \(M\) — середина \(AC\): \[ AM=MC=\frac{84}{2}=42. \]
В треугольнике \(BMC\) дано \(BM=BC\), значит, он равнобедренный с основанием \(MC\). Отрезок \(BH\) перпендикулярен \(AC\), поэтому \(BH\) — высота к основанию \(MC\). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Значит, \[ MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{42}{2}=21. \]
Тогда \[ AH=AM+MH=42+21=63. \]
Проверка: \(MC=MH+HC=21+21=42\), то есть \(M\) действительно середина \(AC\). Ответ не зависит от высоты треугольника.
