реши быстрее пожалуйста

Вот полное решение обоих номеров.

№ 3

Дано: треугольник \(ABC\), \(AA_1\) и \(BB_1\) — биссектрисы, они пересекаются в точке \(M\). Известно, что \(\angle AMB=128^\circ\). Нужно найти \(\angle MCB_1\).

Решение.

1. Так как \(AA_1\) и \(BB_1\) — биссектрисы углов \(A\) и \(B\), то \(M\) — точка пересечения двух биссектрис треугольника, то есть центр вписанной окружности. Значит, \(CM\) тоже является биссектрисой угла \(C\).

2. Пусть \[ \angle A=\alpha,\qquad \angle B=\beta,\qquad \angle C=\gamma. \] Тогда \[ \angle MAB=\frac{\alpha}{2},\qquad \angle MBA=\frac{\beta}{2}. \]

3. Рассмотрим треугольник \(AMB\). Сумма его углов равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle AMB=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2} =180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}. \] По условию \(\angle AMB=128^\circ\): \[ 128^\circ=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}. \] Отсюда \[ \frac{\alpha+\beta}{2}=52^\circ, \] \[ \alpha+\beta=104^\circ. \]

4. Тогда угол \(C\): \[ \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-104^\circ=76^\circ. \]

5. Так как \(CM\) — биссектриса угла \(C\), то \[ \angle MCA=\frac{\gamma}{2}=\frac{76^\circ}{2}=38^\circ. \]

Точка \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), поэтому луч \(CB_1\) совпадает с лучом \(CA\). Следовательно, \[ \angle MCB_1=\angle MCA=38^\circ. \]

Ответ: \(38^\circ\).

№ 4

Дано: \(MD=DN\), то есть \(D\) — середина \(MN\); \(CD\perp MN\); \(CN=10\); \(MK=17\). Нужно найти \(CK\).

Решение.

1. Треугольники \(CDM\) и \(CDN\) прямоугольные, так как \(CD\perp MN\). У них:

• \(CD\) — общая сторона;
• \(MD=DN\) по условию;
• углы при вершине \(D\) прямые.

Значит, треугольники \(CDM\) и \(CDN\) равны по двум катетам. Следовательно, \[ CM=CN=10. \]

2. По рисунку точки \(M\), \(C\), \(K\) лежат на одной прямой, причём \(C\) находится между \(M\) и \(K\). Поэтому \[ MK=MC+CK. \] Подставляем известные значения: \[ 17=10+CK. \] Отсюда \[ CK=17-10=7. \]

Ответ: \(CK=7\).

Хорошо, переписываю по-человечески, как оформляют в 8 классе.

Задача 3

Дано: треугольник \(ABC\), \(AA_1\) и \(BB_1\) — биссектрисы, пересекаются в точке \(M\), \(\angle AMB = 128^\circ\). Найти: \(\angle MCB_1\).

Решение.

1. \(M\) — точка пересечения двух биссектрис треугольника, значит через неё проходит и третья биссектриса. Поэтому \(CM\) — биссектриса угла \(C\). То есть \(\angle MCA = \angle MCB = \dfrac{\angle C}{2}\).

2. Смотрим на треугольник \(AMB\). Так как \(AA_1\) и \(BB_1\) — биссектрисы, то \[ \angle MAB=\frac{\angle A}{2}, \qquad \angle MBA=\frac{\angle B}{2}. \]

3. Сумма углов в треугольнике \(AMB\): \[ \angle AMB = 180^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2} = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}. \]

4. В треугольнике \(ABC\) сумма углов \(180^\circ\), значит \(\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C\). Подставляем: \[ \angle AMB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle C}{2} = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}. \]

5. По условию \(\angle AMB = 128^\circ\): \[ 128^\circ = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}, \] \[ \frac{\angle C}{2} = 38^\circ, \qquad \angle C = 76^\circ. \]

6. \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), поэтому луч \(CB_1\) — это и есть луч \(CA\), и \[ \angle MCB_1 = \angle MCA = \frac{\angle C}{2} = 38^\circ. \]

Ответ: \(38^\circ\).

Задача 4

Дано: \(MK = 17\), \(CD \perp MN\), \(MD = DN\), \(CN = 10\). По рисунку точки \(M\), \(C\), \(K\) лежат на одной прямой. Найти: \(CK\).

Решение.

1. Рассмотрим треугольники \(MCD\) и \(NCD\). Оба прямоугольные, потому что \(CD \perp MN\), то есть \(\angle CDM = \angle CDN = 90^\circ\).

2. У них \(CD\) — общая сторона (общий катет), а \(MD = DN\) по условию (на рисунке отмечено чёрточками).

3. Значит, треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует \(CM = CN\). По условию \(CN = 10\), поэтому \[ CM = 10. \]

4. Точка \(C\) лежит на отрезке \(MK\), поэтому \[ MK = MC + CK. \] Подставляем числа: \[ 17 = 10 + CK, \] \[ CK = 7. \]

Ответ: \(CK = 7\).