Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Как это получить
Способ 1. Через дискриминант (универсальный)
Выписываем коэффициенты: \(a=1,\; b=-5,\; c=6\).
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2. Через теорему Виета (быстрее, когда \(a=1\))
Для уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]
Подбором: это числа \(2\) и \(3\), ведь \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\).
Способ 3. Разложение на множители
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \;\Rightarrow\; x=2 \;\text{или}\; x=3 \]
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип, который стоит запомнить
- Приведи уравнение к виду \(ax^{2}+bx+c=0\).
- Найди \(D=b^{2}-4ac\).
- Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет (в действительных числах).
- Подставь корни в исходное уравнение — это защита от арифметической ошибки.
Для похожего уравнения с \(a=1\) и целыми корнями Виет часто экономит время: ищи два числа с нужной суммой и произведением.
