Объясни
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: треугольник с вершинами A, B, C]
Дано: \(AB = 18\) см \(AC - BC = 4{,}6\) см \(P_{ABC} = 48\) см
Найти: \(AC, BC\)
Решение: \(P_{ABC} = AB + AC + BC\) \(AC + BC = 48\) см \(- 18\) см \(= 30\) см \(AC = BC + 4{,}6\) см Пусть \(BC = x\), тогда \(AC = x + 4{,}6\) см \(x + x + 4{,}6\) см \(= 30\) см \(2x = 25{,}4\) см \(x = \frac{25{,}4 \text{ см}}{2} = 12{,}7\) см \(BC = 12{,}7\) см; \(AC = 12{,}7\) см \(+ 4{,}6\) см \(= 17{,}3\) см
Ответ: 12,7 см и 17,3 см.
Краткий ответ: \(BC = 12{,}7\) см, \(AC = 17{,}3\) см.
В чём идея
Периметр — это сумма всех трёх сторон: \[ P_{ABC} = AB + BC + AC \] Периметр и сторона \(AB\) известны, значит можно узнать сумму двух оставшихся сторон: \[ AC + BC = P_{ABC} - AB \] Второе данное — разность \(AC - BC = 4{,}6\) см — связывает те же две стороны. Две связи на две неизвестные: задача решается.
Шаги
- Сумма двух сторон: \[ AC + BC = 48 - 18 = 30 \text{ см} \]
- Из разности выражаем бо́льшую сторону через меньшую: \[ AC - BC = 4{,}6 \;\Rightarrow\; AC = BC + 4{,}6 \]
- Обозначаем \(BC = x\), тогда \(AC = x + 4{,}6\). Подставляем в сумму: \[ x + (x + 4{,}6) = 30 \]
- Решаем уравнение: \[ 2x = 30 - 4{,}6 = 25{,}4, \qquad x = \frac{25{,}4}{2} = 12{,}7 \] Значит \(BC = 12{,}7\) см.
- Вторая сторона: \[ AC = 12{,}7 + 4{,}6 = 17{,}3 \text{ см} \]
Проверка
\[ 18 + 12{,}7 + 17{,}3 = 48 \text{ см} \] \[ 17{,}3 - 12{,}7 = 4{,}6 \text{ см} \] Неравенство треугольника тоже выполняется: \(12{,}7 + 17{,}3 = 30 > 18\).
Как решать похожие задачи
Если известны сумма \(S\) и разность \(d\) двух сторон, необязательно каждый раз писать уравнение. Большая сторона «забирает» у меньшей половину разности: \[ \text{меньшая} = \frac{S - d}{2}, \qquad \text{большая} = \frac{S + d}{2} \] Здесь: \(\frac{30 - 4{,}6}{2} = 12{,}7\) и \(\frac{30 + 4{,}6}{2} = 17{,}3\). Если бы стороны были равны, каждая была бы \(15\) см, а разность \(4{,}6\) «передвигает» по \(2{,}3\) см в разные стороны — отсюда и правило.
Главное: разность \(AC - BC\) говорит, что \(AC\) больше, поэтому «\(+\,4{,}6\)» достаётся именно ей; если бы разность была отрицательной, знак поменялся бы.
Обсуждение
2 сообщенияПочему мы складываем bc+ac
Коротко: мы не прибавляем \(BC\) и \(AC\) «по желанию» — это следствие формулы периметра, из которой мы убрали известную сторону.
Откуда берётся сумма
Периметр по определению — все три стороны: \[ P_{ABC} = AB + BC + AC \] Подставляем известное \(P_{ABC} = 48\) и \(AB = 18\): \[ 48 = 18 + BC + AC \] Теперь переносим 18 в левую часть: \[ 48 - 18 = BC + AC \] \[ BC + AC = 30 \]
То есть строка \(AC + BC = 48 - 18 = 30\) — это не новое правило, а та же формула периметра, только сторона \(AB\) уже учтена.
Наглядный смысл
Представь, что периметр — это верёвка длиной 48 см, натянутая по контуру треугольника. Участок \(AB\) забрал 18 см. Вся оставшаяся верёвка — это два других участка вместе: \(BC + AC = 30\) см. Складывать их нужно потому, что они вместе «закрывают» остаток периметра; по отдельности мы пока не знаем ни одного из них.
Зачем нам эта сумма
Данные задачи дают ровно две связи на две неизвестные:
- из периметра — сумма: \(AC + BC = 30\);
- из условия — разность: \(AC - BC = 4{,}6\).
Одной разности мало: например, \(13\) и \(8{,}4\), или \(16\) и \(11{,}4\) — разность одна и та же, а стороны разные. Сумма фиксирует «общий размер» двух сторон, разность — «перекос» между ними. Вдвоём они дают единственный ответ.
Отсюда и переход к уравнению: обозначаем \(BC = x\), тогда \(AC = x + 4{,}6\), и подставляем оба выражения в сумму: \[ x + (x + 4{,}6) = 30 \] Именно поэтому в решении появляется сложение \(x + x + 4{,}6\) — это подстановка в \(BC + AC = 30\).
Частая ошибка
Нельзя считать, что \(BC = 30\) или \(AC = 30\): 30 см — это длина двух сторон вместе, а не одной. Аналогично нельзя делить 30 пополам — стороны не равны, они отличаются на \(4{,}6\) см.
Проверка
\[ 18 + 12{,}7 + 17{,}3 = 48, \qquad 17{,}3 - 12{,}7 = 4{,}6 \] Обе связи из условия выполнены, значит пара \(12{,}7\) и \(17{,}3\) найдена верно.
