Реши задание на изображении
Краткие ответы
График: парабола \(y=(x-3)^2-4\), вершина \((3;-4)\), нули \(x=1\) и \(x=5\).
а) \(y(0{,}5)=2{,}25\);
б) \(x=3-\sqrt3\) и \(x=3+\sqrt3\) (примерно \(1{,}27\) и \(4{,}73\));
в) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(1;5)\);
г) функция возрастает при \(x\ge3\), то есть на \([3;+\infty)\).Наименьшее значение: \(-9\) (при \(x=4\)).
Область значений: \([-22;3]\).
Да, пересекаются в точках \((4;4)\) и \((16;64)\).
Значение выражения: \(\dfrac{191}{6}=31\dfrac56\).
Как решать
1. Функция \(y=x^2-6x+5\)
Выделим полный квадрат:
\[ y=x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-4=(x-3)^2-4. \]
Значит, это парабола \(y=x^2\), сдвинутая вправо на \(3\) и вниз на \(4\). Вершина — \((3;-4)\), ветви направлены вверх.
Для построения можно взять точки:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 0 | \(-3\) | \(-4\) | \(-3\) | 0 | 5 |
а) При \(x=0{,}5\):
\[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]
б) Решим \(y=-1\):
\[ x^2-6x+5=-1, \] \[ x^2-6x+6=0, \] \[ x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3. \]
То есть \(x_1\approx1{,}27\), \(x_2\approx4{,}73\). На графике это точки пересечения параболы с горизонтальной прямой \(y=-1\).
в) Нули функции:
\[ x^2-6x+5=0, \] \[ (x-1)(x-5)=0, \]
поэтому \(x=1\) и \(x=5\).
Парабола ветвями вверх, значит:
- выше оси \(Ox\) при \(x<1\) и при \(x>5\);
- ниже оси \(Ox\) между корнями: \(1<x<5\).
г) Вершина находится при \(x=3\), после неё парабола идёт вверх, поэтому функция возрастает на \([3;+\infty)\).
2. Наименьшее значение \(y=x^2-8x+7\)
Выделяем полный квадрат:
\[ y=x^2-8x+7=(x-4)^2-9. \]
Квадрат \((x-4)^2\ge0\), поэтому наименьшее значение равно
\[ -9. \]
Оно достигается при \(x=4\).
3. Область значений \(y=x^2-6x-13\) на \([-2;7]\)
\[ y=x^2-6x-13=(x-3)^2-22. \]
Вершина параболы: \((3;-22)\). Точка \(x=3\) входит в промежуток \([-2;7]\), поэтому минимальное значение:
\[ y_{\min}=-22. \]
Проверим концы отрезка:
\[ y(-2)=(-2)^2-6\cdot(-2)-13=4+12-13=3, \]
\[ y(7)=7^2-6\cdot7-13=49-42-13=-6. \]
Наибольшее значение на отрезке равно \(3\). Значит,
\[ y\in[-22;3]. \]
4. Пересечение параболы и прямой
Парабола:
\[ y=\frac14x^2, \]
прямая:
\[ y=5x-16. \]
Приравняем:
\[ \frac14x^2=5x-16. \]
Умножим на \(4\):
\[ x^2=20x-64, \]
\[ x^2-20x+64=0. \]
Дискриминант:
\[ D=400-256=144>0. \]
Значит, точки пересечения существуют. Корни:
\[ x=\frac{20\pm12}{2}. \]
Получаем:
\[ x_1=4,\qquad x_2=16. \]
Найдём \(y\):
\[ y_1=5\cdot4-16=4, \]
\[ y_2=5\cdot16-16=64. \]
Точки пересечения:
\[ (4;4),\qquad (16;64). \]
Проверка по параболе: \[ \frac14\cdot4^2=4,\qquad \frac14\cdot16^2=64. \] Всё верно.
5. Значение выражения
\[ \sqrt[3]{-3\frac38}+12\sqrt{7\frac{58}{81}}. \]
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
\[ -3\frac38=-\frac{27}{8}, \]
\[ 7\frac{58}{81}=\frac{7\cdot81+58}{81}=\frac{625}{81}. \]
Тогда:
\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac32, \]
так как \(\left(-\frac32\right)^3=-\frac{27}{8}\).
Далее:
\[ \sqrt{\frac{625}{81}}=\frac{25}{9}. \]
Получаем:
\[ -\frac32+12\cdot\frac{25}{9} = -\frac32+\frac{100}{3}. \]
Приведём к общему знаменателю \(6\):
\[ -\frac{9}{6}+\frac{200}{6}=\frac{191}{6}=31\frac56. \]
Ответ: \(31\dfrac56\).
