Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что MQ : QK = 2 : 1. Точка S — середина отрезка MQ. При каких значениях k будут выполняться равенства?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнение 4 из 12 Прочитай условие и реши задачу. Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что \(MQ : QK = 2 : 1\). Точка S — середина отрезка MQ. При каких значениях k будут выполняться равенства?
Выбери верные варианты ответа из списков.
\(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{MK}, k=+\frac{2}{3}\), \(\overrightarrow{MS}=k\cdot\overrightarrow{KM}, k=-\frac{1}{3}\), \(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{QS}, k=-1\), \(\overrightarrow{NK}=k\cdot\overrightarrow{ML}, k=\underline{\phantom{000}}\). Открытый список значений: \(\frac{1}{3}\); \(\frac{2}{3}\); \(0{,}5\); \(1\).
Краткий ответ (сверху вниз):
\[ k=\frac{2}{3},\qquad k=-\frac{1}{3},\qquad k=-2,\qquad k=\frac{1}{2}. \]
В интерфейсе:
- знак «+», число \(\frac23\);
- знак «−», число \(\frac13\);
- знак «−», число \(2\);
- \(0{,}5\).
Как это получается
Пусть \(MQ=2a\), \(QK=a\). Тогда
\[ MK=MQ+QK=3a. \]
Точка \(S\) — середина \(MQ\), поэтому
\[ MS=SQ=a. \]
\(\overrightarrow{SK}\) и \(\overrightarrow{MK}\) сонаправлены.
\[ SK=2a,\quad MK=3a, \] поэтому \[ \overrightarrow{SK}=\frac23\overrightarrow{MK}. \]\(\overrightarrow{MS}\) и \(\overrightarrow{KM}\) противоположно направлены: \[ MS=a,\quad KM=3a, \] значит \[ \overrightarrow{MS}=-\frac13\overrightarrow{KM}. \]
Здесь удобно проверить: \(Q\) — середина отрезка \(SK\), поэтому \[ \overrightarrow{SK}=2\overrightarrow{SQ}=-2\overrightarrow{QS}. \] То есть \(k=-2\), а не \(-1\).
В последней строке \( \overrightarrow{NK}=k\overrightarrow{ML} \). Основания трапеции \(ML\) и \(NK\) параллельны, и из подобия треугольников при пересечении диагоналей: \[ ML:NK=MQ:QK=2:1. \] Значит, \[ NK=\frac12 ML. \] Векторы \(\overrightarrow{NK}\) и \(\overrightarrow{ML}\) сонаправлены, поэтому \[ \overrightarrow{NK}=\frac12\overrightarrow{ML}, \] то есть \(k=\frac12=0{,}5\).
