Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что MQ : QK = 2 : 1. Точка S — середина отрезка MQ. При каких значениях k будут выполняться равенства?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнение 4 из 12 Прочитай условие и реши задачу. Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что MQ : QK = 2 : 1. Точка S — середина отрезка MQ. При каких значениях k будут выполняться равенства?
Выбери верные варианты ответа из списков.
\(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{MK}, k=\underline{\phantom{000}}\), \(\overrightarrow{MS}=k\cdot\overrightarrow{KM}, k=\underline{\phantom{000}}\), \(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{QS}, k=\underline{\phantom{000}}\), \(\overrightarrow{NQ}=k\cdot\overrightarrow{NL}, k=\underline{\phantom{000}}\).
Кратко: \[ k_1=\frac23,\qquad k_2=-\frac13,\qquad k_3=-2,\qquad k_4=\frac23. \]
Для последнего равенства имеется в виду \(\overrightarrow{NQ}=k\overrightarrow{NL}\).
Как получить:
Пусть \(QK=x\). Тогда \[ MQ=2x,\qquad MK=3x. \] Точка \(S\) — середина \(MQ\), значит \[ MS=SQ=x. \] На диагонали точки идут в порядке \(M-S-Q-K\).
\(\overrightarrow{SK}\) направлен так же, как \(\overrightarrow{MK}\), и имеет длину \(2x\): \[ \overrightarrow{SK}=\frac23\overrightarrow{MK},\quad k=\frac23. \]
\(\overrightarrow{MS}\) имеет длину \(x\) и направлен от \(M\) к \(K\), а \(\overrightarrow{KM}\) — противоположно: \[ \overrightarrow{MS}=-\frac13\overrightarrow{KM},\quad k=-\frac13. \]
\(\overrightarrow{SK}\) имеет длину \(2x\), а \(\overrightarrow{QS}\) направлен противоположно и имеет длину \(x\): \[ \overrightarrow{SK}=-2\overrightarrow{QS},\quad k=-2. \]
Для диагонали \(NL\): треугольники при основаниях подобны, поэтому \[ NQ:QL=MQ:QK=2:1. \] Всего \(NL\) делится на \(2+1=3\) части, значит \[ NQ=\frac23NL, \] то есть \(k=\frac23\).
Ответ сверху вниз: \[ \boxed{\frac23;\ -\frac13;\ -2;\ \frac23} \]
