Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что MQ : QK = 2 : 1. Точка S — середина отрезка MQ.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнение 4 из 12
Прочитай условие и реши задачу. Диагонали трапеции MNKL пересекаются в точке Q, так что MQ : QK = 2 : 1. Точка S — середина отрезка MQ. При каких значениях k будут выполняться равенства?
Выбери верные варианты ответа из списков.
\(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{MK},\ k=+\frac{2}{3}\); \(\overrightarrow{MS}=k\cdot\overrightarrow{KM},\ k=-\frac{1}{3}\); \(\overrightarrow{SK}=k\cdot\overrightarrow{QM},\ k=-1\); \(\overrightarrow{KL}=k\cdot\overrightarrow{MN},\ k=-\) [раскрытый список: \(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0{,}5,1\)].
Кратко по строкам:
- \(\overrightarrow{SK}=k\overrightarrow{MK}\): \(k=\dfrac23\).
- \(\overrightarrow{MS}=k\overrightarrow{KM}\): \(k=-\dfrac13\).
- \(\overrightarrow{SK}=k\overrightarrow{QM}\): \(k=-1\).
- \(\overrightarrow{KL}=k\overrightarrow{MN}\): \(k=-\dfrac12=-0{,}5\).
Пусть \(\mathbf u=\dfrac13\overrightarrow{MK}\). Тогда
\[
\overrightarrow{MK}=3\mathbf u,\qquad
\overrightarrow{MQ}=2\mathbf u,\qquad
\overrightarrow{QK}=\mathbf u.
\]
Точка \(S\) — середина \(MQ\), поэтому
\[
\overrightarrow{MS}=\mathbf u,\qquad
\overrightarrow{SK}=2\mathbf u,\qquad
\overrightarrow{QM}=-2\mathbf u.
\]
Отсюда:
- \(\overrightarrow{SK}=2\mathbf u\), а \(\overrightarrow{MK}=3\mathbf u\), значит \(k=\dfrac23\);
- \(\overrightarrow{KM}=-3\mathbf u\), а \(\overrightarrow{MS}=\mathbf u\), значит \(k=-\dfrac13\);
- \(\overrightarrow{SK}=2\mathbf u\), \(\overrightarrow{QM}=-2\mathbf u\), значит \(k=-1\).
Для последней строки: в трапеции \(MN\parallel KL\), треугольники при пересечении диагоналей подобны: \[ \frac{MN}{KL}=\frac{MQ}{QK}=2, \] то есть \(KL\) вдвое короче \(MN\). Векторы \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{MN}\) противоположно направлены, поэтому \[ \overrightarrow{KL}=-\frac12\overrightarrow{MN},\qquad k=-\frac12. \]
Проверка: \(SK\) составляет \(\frac23\) от \(MK\); \(MS\) втрое короче \(KM\) и противоположен ему; \(SK\) и \(QM\) равны по длине и противоположны; \(KL\) вдвое короче \(MN\).
