Напиши дано и решение ещё начерти

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, точка K — середина DC.

а) Каково взаимное расположение прямых PK и AB?
б) Чему равен угол между прямыми PK и AB, если ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°? Ответ обоснуйте.

2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, M и P — середины сторон AB и BC соответственно, E ∈ CD, K ∈ DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.

а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырехугольник MPEK — трапеция.

Answer

Ниже — оба задания с фото.

Кратко: 1. а) $PK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые; б) $60^\circ$. 2. $MP\parallel EK$, поэтому $MPEK$ — трапеция.

1. Треугольники $ABC$ и $ADC$

Дано: треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях, $AC$ — общая сторона; $P$ — середина $AD$, $K$ — середина $DC$; $\angle ABC=40^\circ$, $\angle BCA=80^\circ$.

Найти:
а) взаимное расположение $PK$ и $AB$;
б) угол между $PK$ и $AB$.

Решение.

1. В треугольнике $ADC$ точки $P$ и $K$ — середины сторон $AD$ и $DC$. Значит, $PK$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому
$$
PK\parallel AC.
$$

2. а) Прямая $PK$ лежит в плоскости $ADC$. Прямая $AB$ пересекает эту плоскость только в точке $A$, причём $A\notin PK$.
Если бы $AB\parallel PK$, то из $PK\parallel AC$ следовало бы $AB\parallel AC$, что невозможно: $AB$ и $AC$ — стороны треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $A$.
Значит, $AB$ и $PK$ не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещиваются.

3. б) Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Так как $PK\parallel AC$, то
$$
\angle(PK,AB)=\angle(AC,AB)=\angle BAC.
$$
В треугольнике $ABC$:
$$
\angle BAC=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ.
$$

Ответ: а) $PK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые; б) $60^\circ$.

Чертёж 1 — схема:

B
/ \
/ \
A-----C
\ /
P-K
\ /
D

На чертеже $B$ и $D$ находятся по разные стороны от общего ребра $AC$; $P$ и $K$ — середины $AD$ и $DC$, поэтому $PK\parallel AC$.

2. Пространственный четырёхугольник $ABCD$

Дано: $ABCD$ — пространственный четырёхугольник; $M$ — середина $AB$, $P$ — середина $BC$; $E\in CD$, $K\in DA$;
$$
DE:EC=1:2,\qquad DK:KA=1:2.
$$

Доказать: $MPEK$ — трапеция.

Доказательство.

1. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Значит, $MP$ — средняя линия:
$$
MP\parallel AC,\qquad MP=\frac{AC}{2}.
$$

2. В треугольнике $ADC$:
$$
\frac{DE}{DC}=\frac{1}{1+2}=\frac13,\qquad
\frac{DK}{DA}=\frac{1}{1+2}=\frac13.
$$
Угол $D$ общий, поэтому треугольники $DKE$ и $DAC$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
$$
EK\parallel AC,\qquad EK=\frac{AC}{3}.
$$

3. Из пунктов 1 и 2:
$$
MP\parallel EK.
$$
В четырёхугольнике $MPEK$ стороны $MP$ и $EK$ — противоположные. Если одна пара противоположных сторон параллельна, то четырёхугольник является трапецией.

Вывод: $MPEK$ — трапеция с основаниями $MP$ и $EK$.

Если в вашем учебнике трапеция определяется как четырёхугольник ровно с одной парой параллельных сторон, добавьте:
$$
MP=\frac{AC}{2}\ne \frac{AC}{3}=EK,
$$
поэтому $MK$ и $PE$ не могут быть параллельны — иначе $MPEK$ был бы параллелограммом, а у параллелограмма противоположные стороны равны.

Чертёж 2 — схема:

B
/ \
M •---• P
/ \
A - - - C
\ /
K •---• E
\ /
D

На чертеже $AC$ — вспомогательная диагональ, показана пунктиром. Точки $E$ и $K$ делят стороны $CD$ и $DA$ в отношении $1:2$, считая от $D$, то есть расположены ближе к $D$. Соедини $M$ с $P$, $P$ с $E$, $E$ с $K$, $K$ с $M$ — получится четырёхугольник $MPEK$, у которого $MP\parallel EK$.

Напиши дано и решение ещё начерти

1. Треугольники \(ABC\) и \(ADC\)

2. Пространственный четырёхугольник \(ABCD\)