Напиши дано решение И начерти где нужно график
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 2
- Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону \(AC\). Точка \(P\) — середина стороны \(AD\), точка \(K\) — середина \(DC\).
а) Каково взаимное расположение прямых \(PK\) и \(AB\)? б) Чему равен угол между прямыми \(PK\) и \(AB\), если \(\angle ABC=40^\circ\) и \(\angle BCA=80^\circ\)? Ответ обоснуйте.
- Дан пространственный четырехугольник \(ABCD\), \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно, \(E\in CD\), \(K\in DA\), \(DE:EC=1:2\), \(DK:KA=1:2\).
а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что четырехугольник \(MPEK\) — трапеция.
№1
Дано: \(ABC\) и \(ADC\) — треугольники в разных плоскостях, \(AC\) — общая сторона; \(P\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(DC\); \(\angle ABC=40^\circ\), \(\angle BCA=80^\circ\).
Решение: а) \(PK\) — средняя линия \(\triangle ADC\), поэтому \(PK\parallel AC\). Общая точка \(PK\) и \(AB\) лежала бы на \(AC\), но \(PK\ne AC\). При этом \(AB\not\parallel PK\), иначе было бы \(AB\parallel AC\). Значит, \(PK\) и \(AB\) — скрещивающиеся.
б) \[ \angle BAC=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ. \] Так как \(PK\parallel AC\), угол между \(PK\) и \(AB\) равен углу между \(AC\) и \(AB\), то есть \(60^\circ\).
Ответ: а) скрещиваются; б) \(60^\circ\).
№2
Дано: пространственный четырёхугольник \(ABCD\); \(M\) — середина \(AB\), \(P\) — середина \(BC\); \(E\in CD\), \(K\in DA\); \(DE:EC=DK:KA=1:2\).
Доказать: \(MPEK\) — трапеция.
Рисунок (схема):
D
/ \
K---E
/ \
A-------C
\ /
M---P
\ /
B
\(AC\) — диагональ; \(KE\parallel AC\parallel MP\).
Доказательство:
В \(\triangle ABC\) отрезок \(MP\) — средняя линия:
\[
MP\parallel AC,\qquad MP=\frac12 AC.
\]
В \(\triangle ADC\)
\[
\frac{DK}{DA}=\frac{DE}{DC}=\frac13,
\]
поэтому \(KE\parallel AC\) и \(KE=\frac13 AC\).
Следовательно, \(MP\parallel KE\), но \(MP\ne KE\). Значит, \(M,P,E,K\) лежат в одной плоскости, и \(MPEK\) — трапеция, не параллелограмм. Ч.т.д.
Обсуждение
4 сообщенияНапиши дано решение И начерти где нужно график
Дано: треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в разных плоскостях, \(AC\) — общая сторона; \(P\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(DC\).
На фото условие обрывается: не видно, что нужно доказать или найти. Пришли следующую строку задания — тогда я оформлю решение и чертёж.
Задание 1
Дано: треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в разных плоскостях; \(AC\) — общая сторона; \(P\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(DC\); \(\angle ABC=40^\circ\), \(\angle BCA=80^\circ\).
Решение.
В \(\triangle ADC\) отрезок \(PK\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(DC\), значит, \[ PK\parallel AC. \]
Прямая \(PK\) лежит в плоскости \(ADC\), а \(AB\) — в плоскости \(ABC\). Если бы \(PK\) и \(AB\) пересекались, точка пересечения лежала бы на \(AC\), но \(PK\parallel AC\) и \(PK\ne AC\). Параллельными они тоже быть не могут, иначе \(AB\parallel AC\), а это невозможно: \(AB\) и \(AC\) пересекаются в точке \(A\).
Следовательно, \(PK\) и \(AB\) — скрещивающиеся прямые.
- Угол между скрещивающимися прямыми \(PK\) и \(AB\) равен углу между \(AC\) и \(AB\): \[ \angle BAC=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ. \]
Ответ: а) \(PK\) и \(AB\) скрещиваются; б) \(60^\circ\).
Рисунок 1 (схема):
D
/ \
P---K PK ∥ AC
/ \
A-------C
\ /
\ /
B
Задание 2
Дано: пространственный четырёхугольник \(ABCD\); \(M\) — середина \(AB\), \(P\) — середина \(BC\); \(E\in CD\), \(K\in DA\);
\[ DE:EC=1:2,\qquad DK:KA=1:2. \]
Доказать: \(MPEK\) — трапеция.
Рисунок 2 (схема):
A
/ \
/ M\
/ / B
/ / \ |
/ / \ |
/ / \|
/ / |
K P
/ \ / |
/ \ / |
/ \ / |
D----E----------C
Доказательство.
\(M\) и \(P\) — середины \(AB\) и \(BC\), значит, \(MP\) — средняя линия \(\triangle ABC\): \[ MP\parallel AC. \]
В \(\triangle ADC\): \[ \frac{DK}{DA}=\frac{1}{1+2}=\frac13,\qquad \frac{DE}{DC}=\frac{1}{1+2}=\frac13. \] Отрезки на сторонах \(DA\) и \(DC\) пропорциональны, поэтому по обратной теореме Фалеса \[ KE\parallel AC. \]
Следовательно, \[ MP\parallel KE. \] В четырёхугольнике \(MPEK\) противоположные стороны \(MP\) и \(KE\) параллельны, значит, \(MPEK\) — трапеция.
\[ \boxed{\text{Что и требовалось доказать.}} \]
