Реши уравнение номер 266

В номере 266 шесть пунктов — решаю все.

Краткие ответы:

• а) \(x=-2\);
• б) \(x=\pm\dfrac15\);
• в) \(y=-\dfrac72\) или \(y=2\);
• г) \(x=\pm\dfrac12\);
• д) \(x=20\);
• е) \(x=-\dfrac{17}{20}\).

Как получились ответы

а)
\[ (8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38 \] Раскрываем скобки: \[ (16x^2-26x+3)-(16x^2-8x+1)=38 \] \[ -18x+2=38 \] \[ x=-2 \]

б)
\[ \frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\frac23=\frac83 \] Умножаем на 3 и применяем формулу разности квадратов: \[ (15x-1)(15x+1)=8 \] \[ 225x^2-1=8 \] \[ x^2=\frac1{25} \] \[ x=\pm\frac15 \]

в)
Сначала раскрываем \( (y+1)(y-3)\): \[ (y+1)(y-3)=y^2-2y-3 \] Тогда левая часть упрощается: \[ 0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=y^2+1{,}5y \] Получаем: \[ 2y^2+3y-14=0 \] \[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=121 \] \[ y=\frac{-3\pm11}{4} \] Отсюда \(y=2\) или \(y=-\dfrac72\).

г)
\[ (1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1 \] Поэтому правая часть равна \(x^4-\dfrac14\): \[ x^4-x^2=x^4-\frac14 \] \[ x^2=\frac14 \] \[ x=\pm\frac12 \]

д)
\[ \frac{x}{2}-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}=5 \] \[ x=20 \]

е)
\[ 5x^3-5x(x^2+4)=17 \] \[ 5x^3-5x^3-20x=17 \] \[ -20x=17 \] \[ x=-\frac{17}{20} \]

Главный принцип: сначала упрощаем уравнение, затем решаем оставшееся линейное или квадратное уравнение. Если получается \(x^2=a>0\), не забываем два корня: \(x=\pm\sqrt a\). Подстановкой я проверил — все найденные значения подходят.