реши быстрее пожалуйста
Сверь числа и знаки с фото.
9 \(\angle MON\) — ? [Рисунок: треугольник \(KMN\), внутри точка \(O\); у вершины \(K\) отмечен угол \(40^\circ\); проведены отрезки \(OK\), \(OM\), \(ON\) и перпендикуляры из \(O\) к сторонам \(KN\), \(KM\), \(MN\), отмечены прямые углы.]
10 \(\angle MEF=60^\circ\) \(EO=8\) \(OK\) — ? [Рисунок: треугольник \(EMF\); на отрезке \(EK\) отмечена точка \(O\), \(EK\perp MF\), при \(K\) отмечен прямой угол; на стороне \(EM\) отмечена точка \(N\); проведены отрезки \(MO\), \(FO\), \(ON\) и отрезок от \(O\) к стороне \(EF\); \(EO=8\).]
Ответ: №9 — \(110^\circ\), №10 — \(OK=4\).
№9. Точка \(O\) — центр вписанной окружности, поэтому \(KO\), \(MO\), \(NO\) — биссектрисы.
В треугольнике \(MON\):
\[ \angle OMN=\frac{\angle M}{2},\qquad \angle ONM=\frac{\angle N}{2}. \]
Тогда
\[ \angle MON=180^\circ-\frac{\angle M+\angle N}{2}. \]
Так как \(\angle K=40^\circ\), то
\[ \angle M+\angle N=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]
Значит,
\[ \angle MON=180^\circ-\frac{140^\circ}{2}=110^\circ. \]
№10. \(EO\) — биссектриса угла \(E\), поэтому
\[ \angle OEF=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ. \]
Опустим перпендикуляр из \(O\) на сторону \(EM\): он равен \(OK\), так как это радиусы вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(EO=8\):
\[ OK=EO\sin 30^\circ=8\cdot\frac12=4. \]
Если на рисунке \(40^\circ\) относится только к \(\angle MKO\), а не ко всему углу \(K\), то для №9 получится \(130^\circ\).
Обсуждение
2 сообщенияЧто такое sin?
Кратко: синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
\[ \sin\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c} \]
Например, если напротив угла \(30^\circ\) лежит катет \(4\), а гипотенуза \(8\), то \(\sin 30^\circ=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\). Синус зависит только от самого угла, а не от размеров треугольника — поэтому его можно смотреть по таблице:
| угол | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
Как это сработало в №10. Точка \(O\) — центр вписанной окружности (квадратики на рисунке — это радиусы, опущенные на стороны под прямым углом), значит:
- \(EO\) — биссектриса, поэтому \(\angle OEK=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\);
- \(OK\perp MF\), то есть в треугольнике \(EOK\) угол \(K\) прямой, \(EO=8\) — гипотенуза, а \(OK\) лежит напротив угла \(30^\circ\).
Отсюда по определению синуса:
\[ \sin 30^\circ=\frac{OK}{EO}\quad\Rightarrow\quad OK=EO\cdot\sin 30^\circ=8\cdot\frac{1}{2}=4. \]
Тот же ответ можно записать короче, вспомнив свойство: катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы. Если хочешь, разберём, откуда берутся значения в таблице.
