Реши уравнение 266

Ответ: а) \(x=-2\); б) \(x=\pm\dfrac15\); в) \(y=2\) или \(y=-3{,}5\); г) \(x=\pm\dfrac12\).

Как это получается

а)
\[ (8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38. \] Раскрываем скобки: \[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38. \] Квадраты \(x^2\) сокращаются: \[ -18x+2=38, \] \[ -18x=36, \] \[ x=-2. \] Проверка: \(119-81=38\), всё верно.

б) \[ \frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\frac23. \] Так как \(2\frac23=\frac83\), умножим обе части на \(3\): \[ (15x-1)(15x+1)=8. \] Применяем формулу разности квадратов: \[ 225x^2-1=8, \] \[ 225x^2=9, \] \[ x^2=\frac1{25}, \] \[ x=\pm\frac15. \]

в) \[ 0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7. \] Запишем \(0{,}5=\frac12\) и раскроем \((y+1)(y-3)\): \[ (y+1)(y-3)=y^2-2y-3. \] Тогда \[ \frac12y^3-\frac12y(y^2-2y-3)=7, \] \[ y^2+\frac32y=7. \] Умножаем на \(2\): \[ 2y^2+3y-14=0. \] Дискриминант: \[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121. \] Корни: \[ y=\frac{-3\pm11}{4}. \] Значит, \[ y=2 \quad \text{или} \quad y=-\frac{14}{4}=-3{,}5. \]

г) \[ x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}. \] В числителе: \[ (1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1. \] Поэтому \[ x^4-x^2=\frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14. \] Слагаемое \(x^4\) сокращается: \[ -x^2=-\frac14, \] \[ x^2=\frac14, \] \[ x=\pm\frac12. \]

Общий приём: раскрыть скобки, привести подобные; часто старшие степени сокращаются, и уравнение сводится к линейному или квадратному. Подстановка подтверждает все найденные корни.