266. Решите уравнение:

Question

Реши номер 266

Расшифровка фото нейросетью:
266. Решите уравнение:
а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$;
б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$;
в) $0{,}5y^3 - 0{,}5y(y + 1)(y - 3) = 7$;
г) $(x + 8)(x - 7) = 0$;
д) $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 5$;
е) $5x^3 - 5x(x^2 + 4) = 17$.

Answer

Краткий ответ:

а) $x=-2$;

б) $x=\pm\dfrac15$;

в) $y=2$ или $y=-\dfrac72$;

г) $x=-8$ или $x=7$;

д) $x=20$;

е) $x=-\dfrac{17}{20}=-0{,}85$.

Как решать

а)
$$
(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38
$$
Раскрываем скобки:
$$
16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=-18x+2
$$
Значит:
$$
-18x+2=38 \Rightarrow -18x=36 \Rightarrow x=-2
$$
Проверка: $(8\cdot(-2)-1)(2\cdot(-2)-3)-(-9)^2=119-81=38$.

б)
Смешанное число $2\frac23$ равно $\frac83$. Умножим обе части на 3:
$$
(15x-1)(1+15x)=8
$$
То есть:
$$
(15x-1)(15x+1)=8
$$
По формуле разности квадратов:
$$
225x^2-1=8
$$
$$
225x^2=9
$$
$$
x^2=\frac1{25}
$$
Поэтому:
$$
x=\pm\frac15
$$
Оба корня подходят, так как $x^2$ даёт два значения.

в)
$$
0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7
$$
Сначала:
$$
(y+1)(y-3)=y^2-2y-3
$$
Тогда:
$$
0{,}5y^3-0{,}5y(y^2-2y-3)
=0{,}5y^3-0{,}5y^3+y^2+1{,}5y
$$
Получаем:
$$
y^2+1{,}5y=7
$$
$$
2y^2+3y-14=0
$$
$$
D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121
$$
$$
y=\frac{-3\pm11}{4}
$$
Отсюда:
$$
y=2 \quad \text{или} \quad y=-\frac72
$$

г)
$$
(x+8)(x-7)=0
$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$
x+8=0 \Rightarrow x=-8
$$
или
$$
x-7=0 \Rightarrow x=7
$$

д)
$$
\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=5
$$
Приводим к общему знаменателю:
$$
\frac{2x-x}{4}=5
$$
$$
\frac{x}{4}=5
$$
$$
x=20
$$

е)
$$
5x^3-5x(x^2+4)=17
$$
Раскрываем скобки:
$$
5x^3-5x^3-20x=17
$$
Кубы сокращаются:
$$
-20x=17
$$
$$
x=-\frac{17}{20}=-0{,}85
$$

Главное: если после упрощения получается $x^2=a$, не забывай про два корня $x=\pm\sqrt a$. А если произведение множителей равно нулю, приравнивай каждый множитель к нулю.