решить как ученик 10 класса по вероятности и статистики

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 16

1. Неориентированный граф: ребра (K,L), (K,M), (K,N), (L,N), (M,N). Найдите степени вершин и их сумму.

2. Орграф: дуги A→C, A→D, B→A, C→B, D→B, D→C. Найдите полустепени deg−, deg+ вершин и проверьте равенство сумм.

3. Бросают две монеты. Нарисуйте дерево исходов и найдите вероятность выпадения хотя бы одной «Решки».

4. (ЕГЭ) Завод1 дает 75% фар (брак 1%), завод2 — 25% (брак 5%). Через дерево вероятностей найдите шанс купить брак.

5. Из Розы, Сары, Томы и Ули выбирают 3 дежурных. Выпишите все тройки. Какова вероятность, что Уля не дежурит?

6. (ЕГЭ) Дороги: (K,L)=4, (K,M)=6, (L,M)=1, (L,N)=3, (M,P)=4, (N,P)=3. Найдите длину кратчайшего пути между K и P.

Answer

Кратко

1. $K=3,\ L=2,\ M=2,\ N=3$; сумма $10$.

2. $\deg^{-}$: $A=1,\ B=2,\ C=2,\ D=1$; $\deg^{+}$: $A=2,\ B=1,\ C=1,\ D=2$; суммы $6=6$.

3. $P=\frac{3}{4}=0{,}75$.

4. $P=0{,}02=2\%$.

5. Всего 4 тройки; $P=\frac{1}{4}=0{,}25$.

6. Кратчайший путь $K\to L\to M\to P$, длина $9$.

Подробно

1. Степень вершины — это число рёбер, которые с ней соединены.
Считаем по списку рёбер:
$$
K:3,\quad L:2,\quad M:2,\quad N:3.
$$
Сумма:
$$
3+2+2+3=10.
$$
Проверка: каждое ребро даёт по единице двум вершинам, поэтому сумма степеней равна $2\cdot5=10$.

2. В орграфе:

$\deg^{-}$ — сколько дуг входит в вершину;

$\deg^{+}$ — сколько дуг выходит из вершины.

Вершина |
$\deg^{-}$ |
$\deg^{+}$ |

A |
1 |
2 |

B |
2 |
1 |

C |
2 |
1 |

D |
1 |
2 |

Сумма полустепеней захода:
$$
1+2+2+1=6.
$$
Сумма полустепеней исхода:
$$
2+1+1+2=6.
$$
Они равны, потому что каждая дуга имеет начало и конец, а всего дуг 6.

3. Считаем монеты правильными. Дерево исходов:

орёл $О$: затем $О$ — исход $ОО$, затем $Р$ — исход $ОР$;

решка $Р$: затем $О$ — исход $РО$, затем $Р$ — исход $РР$.

Всего 4 равновозможных исхода: $ОО, ОР, РО, РР$.
Хотя бы одна решка — это $ОР, РО, РР$, то есть 3 исхода:
$$
P=\frac{3}{4}=0{,}75.
$$

4. Ветви дерева вероятностей:

завод 1: вероятность $0{,}75$, затем брак $0{,}01$;

завод 2: вероятность $0{,}25$, затем брак $0{,}05$.

Вероятность купить бракованную фару:
$$
P=0{,}75\cdot0{,}01+0{,}25\cdot0{,}05
=0{,}0075+0{,}0125=0{,}02.
$$
То есть $2\%$.

5. Выбираем 3 дежурных из 4 человек, порядок неважен. Все тройки:

Роза, Сара, Тома;

Роза, Сара, Уля;

Роза, Тома, Уля;

Сара, Тома, Уля.

Всего 4 варианта. Уля не дежурит только в одном: Роза, Сара, Тома. Поэтому
$$
P=\frac{1}{4}=0{,}25.
$$

6. Перебираем короткие маршруты:
$$
K-L-M-P=4+1+4=9,
$$
$$
K-L-N-P=4+3+3=10,
$$
$$
K-M-P=6+4=10.
$$
Например, путь $K-M-L-N-P$ даёт $6+1+3+3=13$, он длиннее.
Значит, кратчайший путь:
$$
K\to L\to M\to P,
$$
его длина $9$.

Вершина	\(\deg^{-}\)	\(\deg^{+}\)
A	1	2
B	2	1
C	2	1
D	1	2