реши 33 номер

Question

реши 33 номер

Расшифровка фото нейросетью:
33. Сократите дробь:
а) $\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}$;
б) $\frac{a^3-b^3}{a-b}$;
в) $\frac{(a+b)^3}{a^3+b^3}$;
г) $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}$.

Answer

Кратко:
а) $\dfrac{1}{a+b}$;
б) $a^2+ab+b^2$;
в) $\dfrac{(a+b)^2}{a^2-ab+b^2}$;
г) $\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}$.

Ограничения: в а) и в) $a\ne -b$; в б) $a\ne b$; в г) $a\ne b$ и $a\ne -b$.

Сокращать можно только множители, поэтому сначала раскладываем числитель и знаменатель. Используем формулы:
$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
$$
$$
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),
$$
$$
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
$$

1. а)
$$
\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}
=\frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}
=\frac{1}{a+b}.
$$

2. б)
$$
\frac{a^3-b^3}{a-b}
=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}
=a^2+ab+b^2.
$$

3. в)
$$
\frac{(a+b)^3}{a^3+b^3}
=\frac{(a+b)^3}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}
=\frac{(a+b)^2}{a^2-ab+b^2}.
$$

4. г)
$$
\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}
=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}
=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}.
$$

Проверка при $a=2,\ b=1$: а) $\frac{3}{9}=\frac13$; б) $\frac71=7$; в) $\frac{27}{9}=3$; г) $\frac73$. Совпадает с полученными формулами.