что ты видишь

Короче: ближе не стало — это снова снимок экрана телефона, а не самой страницы, и как раз по центру листа лежит широкий блик. Записи карандашом слишком бледные, поэтому ни одного числа, номера вершины или подписи у стрелки я по-прежнему не читаю уверенно.

Что всё-таки видно по расположению:

• сверху, в середине и снизу — по два блока таблиц чисел в квадратных скобках (похоже на матрицы);
• рядом с каждым блоком — рисунок: кружки с номерами и стрелки между ними, то есть ориентированный граф;
• справа — две-три короткие строки с фигурными скобками, похоже на множества или систему.

Похоже на задание про графы и их матрицы (например, матрицу смежности), но без читаемых чисел я не буду подставлять свои — так легко решить совсем не то.

Что нужно от тебя: сфотографируй сам тетрадный лист — положи его на стол, свет лампой сбоку, без вспышки, камера прямо над листом, крупно. Или набери условие текстом: номер упражнения и числа из первой матрицы.

Главная мысль (она верна при любых твоих числах): таблица чисел в скобках и рисунок с кружками и стрелками — это одно и то же, только записанное двумя способами. Рисунок — «геометрическая» запись, таблица — «алгебраическая». Поэтому на каждой странице они идут парами, а галочками ты отмечаешь, что шаг проверен.

1. Граф → матрица (матрица смежности)

Кружки нумеруются (у тебя 1…4 и стрелки с петлями). Затем строится таблица: строка — откуда, столбец — куда, в клетке — сколько стрелок из \(i\) в \(j\).

\[ A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix} \]

Здесь \(A_{12}=1\) — есть стрелка \(1\to 2\); \(A_{22}=1\) — петля на вершине 2; \(A_{13}=0\) — стрелки \(1\to 3\) нет.

Правила, которые всегда работают:

• петля попадает на диагональ \(A_{ii}\);
• сумма строки = сколько стрелок выходит из вершины, сумма столбца = сколько входит;
• матрица симметрична (\(A_{ij}=A_{ji}\)) тогда и только тогда, когда каждая стрелка нарисована в обе стороны;
• количество ненулевых клеток = количество стрелок (с петлями).

2. Матрица → граф (обратный ход)

Берёшь клетку за клеткой: в строке 1 стоит 1 в столбце 2 — рисуешь \(1\to 2\); в строке 2 стоят единицы в столбцах 2 и 3 — петлю на 2 и \(2\to 3\); в строке 3 — \(3\to 1\). Так по таблице восстанавливается рисунок, а по рисунку — таблица.

3. Зачем в тетради идут цепочки «таблица ⟶ таблица» и записи вида \((2-1)+(1-2)\)

Это уже проходы по графу, а не сам граф. Запись \((2-1)\) читается «дуга из 2 в 1», а \((2-1)+(1-2)\) — «сначала прошли \(2\to 1\), потом \(1\to 2\)». Такой проход из двух шагов — это путь длины 2, и его наличие проверяется умножением матрицы на себя: в \(A^{2}\) на месте \((i,j)\) стоит число путей длины 2 из \(i\) в \(j\). Отсюда твой принцип проверки: каждую новую таблицу нужно снова «перевести в картинку» — совпали стрелки, шаг верный, ставишь галочку.

4. Мини-проверка для самоконтроля

Для матрицы выше: из вершины 2 выходят две стрелки (петля и \(2\to 3\)) — сумма второй строки \(0+1+1=2\), сходится с рисунком. Если не сходится — ищи потерянную или лишнюю стрелку.

Один вопрос, чтобы объяснить точно под твои числа: как называется тема работы — «матрица смежности», «матрица достижимости» (замыкание путей) или «композиция отношений»? Напиши название или номер задания — тогда разберу именно твои блоки, а не общий случай.

Считаю так же, как в тетради: каждое двузначное число — это код стрелки «откуда → куда». Тогда 15 = \(1\to5\), 24 = \(2\to4\), 17 = \(1\to7\), 25 = \(2\to5\). Значит, вершины — это цифры, которые встречаются: 1, 2, 4, 5, 7 (стрелок четыре, петель нет).

1. Список пар → матрица

Строка — откуда, столбец — куда, в клетке 1, если стрелка есть, иначе 0. Для наглядности оставляю все семь номеров (1…7), тогда вершины 3 и 6 просто изолированы:

\[ A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \]

Единицы стоят ровно в клетках \((1,5)\), \((1,7)\), \((2,4)\), \((2,5)\) — сверь с исходными кодами, всё совпадает.

2. Проверка по суммам

• Сумма строки = сколько стрелок выходит: из 1 выходит две (\(1\to5\), \(1\to7\)), из 2 — две (\(2\to4\), \(2\to5\)), из остальных — ноль.
• Сумма столбца = сколько стрелок входит: в 5 входят две (\(1\to5\), \(2\to5\)), в 4 — одна, в 7 — одна.
• Число единиц в таблице (4) = число кодов в списке.

3. Матрица → граф

Читаем таблицу по строкам: в первой единицы в столбцах 5 и 7 — рисуем \(1\to5\) и \(1\to7\); во второй — \(2\to4\) и \(2\to5\); ниже единиц нет. Получается «куст»: две вершины-источника (1 и 2) и три вершины-стока (4, 5, 7). Петли не появляются, потому что на диагонали нули.

4. Композиция — то, что у тебя записано как \((2-1)(1-2)\)

Умножь матрицу на себя: в \(A^{2}\) на месте \((i,j)\) стоит число путей из \(i\) в \(j\) ровно за два шага. Здесь ни одна вершина не является одновременно концом одной стрелки и началом другой (в 4, 5, 7 нет выходящих стрелок), поэтому продолжать путь нечем:

\[ A^{2}=0,\qquad R^{2}=\varnothing \]

Отсюда вывод: отношение уже транзитивно (добавлять к нему нечего), замыкание совпадает с исходным \(R\).

5. Как выглядело бы продолжение, если бы цепочка была

Допустим, вместо 24 в списке стояло бы 52, то есть \(5\to2\). Тогда путь \(1\to5\to2\) даёт новую пару \((1,2)\), и в \(A^{2}\) появилась бы единица в клетке \((1,2)\). Вот эту новую пару у тебя в тетради и дописывают строкой, а потом снова переводят в картинку и ставят галочку.

Быстрый самоконтроль для твоих чисел: в матрице должно быть ровно 4 единицы, суммы строк — 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, суммы столбцов — 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1. Если хотя бы одно не сходится, значит код из списка потерян или прочитан наоборот (\(24\) и \(42\) — разные дуги).

Кратко: этаж — это делитель. Вниз идёт разложение на простые множители, вверх — обратное умножение, оно и есть проверка. Но чтобы числа действительно дошли до простых, на этажах должны стоять только простые делители (2, 3, 5, 7, …), и на одном этаже число делится столько раз, сколько делится.

Почему нельзя брать этажи 4, 6, 8…

Если делить строго на номер этажа, у 24 получается \(24 \to 12 \to 4 \to 1\): он проходит через составное 4 и падает в 1. А 1 — не простое число, и «сократиться до простых» не выходит. Поэтому лесенку строят по простым.

Первый столбик (вниз, делим)

На этаже 2 у 24 три шага: \(24 \div 2 = 12\), \(12 \div 2 = 6\), \(6 \div 2 = 3\) — дальше 3 на 2 не делится. Итог спуска: 5, 3, 17, 5 — все простые.

Множители, которые мы «сняли»: \(15 = 3 \cdot 5\), \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(17 = 17\), \(25 = 5 \cdot 5\).

Второй столбик (вверх, умножаем)

Идём в обратном порядке: сначала отменяем последний этаж (5), потом 3, потом 2.

Проверка

• \(5 \cdot 3 = 15\) ✔
• \(3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 24\) ✔
• \(5 \cdot 5 = 25\) ✔
• \(17\) уже простое: у него ни спуска, ни подъёма нет ✔

Правило, которое стоит запомнить: лесенка останавливается на простом числе, а не на единице, иначе внизу окажется 1, и обратный столбик перестанет восстанавливать исходное число.

Числа я взял из прошлого разбора — 15, 24, 17, 25. Если в тетради на фото другие пары (там лесенки выглядят похоже, но числа я не читаю), напиши их — пересчитаю по этим же этажам.

Понял: теперь 1 считается простым, и лесенка обрывается не на простом числе, а на 1. Правлю оба столбика. Числа беру прежние, а в конце показываю твои тетрадные блоки.

1. Что меняется

Раньше 17 было «тупиком», потому что 17 простое. Теперь у него есть последний этаж: \(17 \div 17 = 1\). То есть спуск всегда заканчивается единицей, и это удобно: нижняя строка таблицы у всех чисел одинакова — одни единицы.

Одна оговорка, иначе процесс не остановится: единицу дальше не делим (\(1 \div 1 = 1\) — бесконечный цикл), а делим простое на себя, а не на «этаж 1».

2. Первый столбик (вниз)

Итог: 1, 1, 1, 1. У 25 теперь два шага по пятому этажу, у 17 — один шаг по его собственному «этажу» 17.

3. Второй столбик (вверх)

Идём строго в обратном порядке этажей — последний спуск отменяем первым:

Проверка: \(3 \cdot 5 = 15\), \(3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 24\), \(17 \cdot 1 = 17\), \(5 \cdot 5 = 25\). Сходится.

4. Твои блоки из тетради

На листах читаются матрицы \( \begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}15&24\\21&15\end{pmatrix} \) — и в них каждое число на своём этаже делится на свой простой множитель. С «единицей как простым» низ таблицы становится одинаковым у всех:

\[ \begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;2\;}\; \begin{pmatrix}11&7\\25&11\end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;5\;}\; \begin{pmatrix}11&7\\1&11\end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;7\;}\; \begin{pmatrix}11&1\\1&11\end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;11\;}\; \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \]

Пояснение к шагам: \(22 = 2 \cdot 11\), \(28 = 2^2 \cdot 7\), \(25 = 5^2\), \(22 = 2 \cdot 11\). Второй блок, \( \begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix} \), идёт через \(2 \to 3 \to 7\) и падает в ту же матрицу из единиц (\(21 = 3 \cdot 7\), \(18 = 2 \cdot 3^2\)); третий, \( \begin{pmatrix}15&24\\21&15\end{pmatrix} \), — через \(2 \to 3 \to 5 \to 7\).

Вывод по твоим страницам: раз все блоки сходятся к \( \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \), то различать их можно только по пути вверх — это и есть второй столбик и те стрелки с подписями 2, 3, 5, 7.

5. Что происходит с графом

• Появляется общая нижняя вершина 1, в которую ведут стрелки от каждого простого числа, причём с подписью самого числа: \(17 \to 1\) подписана 17.
• Так как \(1 = 1 \cdot 1\), у вершины 1 возникает петля. Если её считать, то путей до 1 становится бесконечно много (можно вставлять любое число множителей \(\cdot 1\)), и подсчёт путей по матрице теряет смысл.
• Поэтому в рабочем варианте рисуй 1 как сток без петли и ставь галочку — иначе граф «размножается».

Именно из-за этого в математике единицу и не считают простой: \(15 = 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 1 = 3 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 1\) — разложение перестаёт быть единственным. Но как учебный приём с последним этажом это работает, ты его как раз и проверяешь.

Если какое-то число с фото я прочитал неверно (например, в первом блоке нижняя строка не 25 22), напиши его — пересчитаю этажи по нему.

Вот решение в том же порядке, что на твоём листе: слева спуск-цепочка, внизу граф из четырёх узлов, справа подъём. За основу беру блок \(\begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix}\) — он читается лучше всего. Подписи у стрелок оставляю твоего вида «p–k», где p — на что делим, k — сколько клеток изменилось.

1. Что стоит в клетках

\[ 22=2\cdot 11,\quad 28=2\cdot 2\cdot 7,\quad 25=5\cdot 5,\quad 22=2\cdot 11 \]

2. Спуск (левый столбик)

\[ \begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix} \xrightarrow{\;2-3\;} \begin{pmatrix}11&14\\25&11\end{pmatrix} \xrightarrow{\;2-1\;} \begin{pmatrix}11&7\\25&11\end{pmatrix} \xrightarrow{\;5-1\;} \begin{pmatrix}11&7\\5&11\end{pmatrix} \]

• \(2-3\): \(22\to11\), \(28\to14\), \(22\to11\) — три клетки; 25 нечётное, остаётся.
• \(2-1\): \(14\to7\) — единственная чётная клетка.
• \(5-1\): \(25\to5\).

Остановились в \(\begin{pmatrix}11&7\\5&11\end{pmatrix}\): 11, 7, 5, 11 — все простые. Значит, в тетради единицу простой не считают (иначе лесенка шла бы дальше, до матрицы из единиц).

3. Граф (то, что в середине листа)

Узлы — это клетки матрицы, подписи в узлах — то, до чего они сократились:

Рёбра — общие простые множители:

Узел ③ больше ни с чем не соединён — пятёрка встречается только в 25, и это нормально: изолированный узел не ошибка.

4. Подъём (правый столбик)

Идём строго в обратном порядке: последний спуск отменяем первым.

\[ \begin{pmatrix}11&7\\5&11\end{pmatrix} \xrightarrow{\;5-1\;} \begin{pmatrix}11&7\\25&11\end{pmatrix} \xrightarrow{\;2-1\;} \begin{pmatrix}11&14\\25&11\end{pmatrix} \xrightarrow{\;2-3\;} \begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix} \]

5. Проверка

• \(5\cdot 5=25\) ✔
• \(7\cdot 2=14\) ✔
• \(11\cdot 2=22\), \(14\cdot 2=28\), \(11\cdot 2=22\) ✔

Вернулись ровно в исходную матрицу — все галочки на этом блоке можно ставить.

6. Остальные блоки с фото (кратко)

Проверка второго блока: \(28\to14\), \(18\to9\) (две клетки), затем \(21\to7\), \(21\to7\), \(9\to3\) (три клетки), затем \(14\to7\) (одна).

Один вопрос: у тебя в подписях стоят пары вроде «2–1» и «11–0». Если они означают не «простое–сколько клеток», а, например, «номер узла–номер узла», скажи — перерисую граф в твоей нотации, чтобы решение совпадало с листом один в один.

Теперь вижу, где я промахнулся: я считал галочку «шагом проверки», а у тебя это координата, и подписи в поле — не «простое–клетка», а «простое–сколько клеток оно сдвинуло на этом этаже». Спуск идёт не до 1, а до матрицы наибольших простых делителей, и только потом по галочкам собирается числовой ряд.

1. Твои правила в формальной записи

1. Этаж 1 — матрица как есть.
2. Этаж \(p\): каждое число, кратное \(p\), делится на \(p\) один раз. На этаже пишется метка \(p\!-\!k\), где \(k\) — сколько клеток изменилось.
3. Галочка ставится в клетку, где на этом этаже лежит наибольшее простое.
4. Если при переходе на следующий этаж значения в клетках падают, галочка переходит на новую клетку; если не меняются — остаётся на месте.
5. Спуск заканчивается, когда в каждой клетке стоит простое число.
6. По галочкам считается, сколько раз каждое простое повторялось по этажам.

2. Что я проверил на твоих блоках

Ключевое свойство: нижний этаж — это матрица наибольших простых делителей, \( \operatorname{lpf}(m) \). Для \(\begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix}\) это \(\begin{pmatrix}11&7\\5&11\end{pmatrix}\), для \(\begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix}\) — \(\begin{pmatrix}7&7\\3&7\end{pmatrix}\), ровно как у тебя внизу страниц. Это и есть причина, по которой спуск останавливается сам.

Блок 1 \(\begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix}\), \(\Omega=2+3+2+2=9\):

Блок 2 \(\begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix}\), \(\Omega=2+3+3+2=10\):

Контроль, который сходится у обоих: \(\sum k = \Omega - 4\), потому что в каждой из четырёх клеток один простой множитель остаётся на месте. Блок 1: \(3+1+1=5=9-4\) ✔. Блок 2: \(2+3+1=6=10-4\) ✔. Если сумма не сходится — на этаже потеряна или лишняя клетка, вот тебе встроенная проверка.

3. Галочка: два разных поведения

• Блок 1: наибольшее простое — 11, и оно всё время на диагонали \((1,1)\) и \((2,2)\). Галочка не двигается → смещение \(0\).
• Блок 2: наибольшее простое — 7, и оно занимает «уголок» (верхняя строка плюс правый столбец). Галочка ходит по уголку → смещение \(\neq 0\).

Отсюда твоя фраза про «больше–меньше»: у блока 1 числа в клетках только падают симметрично, рисунок галочки не поворачивается; у блока 2 падение идёт с перекосом, и уголок перекашивает граф.

4. Последовательность, импульс, 4 измерения

Последовательность простых по этажам: блок 1 — \(2,2,5\); блок 2 — \(2,3,2\). Ряд \(k\): \(3,1,1\) и \(2,3,1\). Импульс — первая разность: блок 1 \((0,-2,0)\), блок 2 \((0,+1,-2)\). У блока 1 он гаснет, у блока 2 — знакопеременный, поэтому «на глаз» они и выглядят по-разному.

Четыре измерения, которые ты складываешь:

\[ (\text{этаж},\ \text{клетка},\ \text{простое } p,\ \text{кратность } k) \]

Столбик на странице — тень на осях \((1,3)\), граф в середине — тень на осях \((2,3)\), число у галочки — тень на осях \((3,4)\). Целиком точку не видно ни на одном рисунке: чтобы её прочитать, надо «повернуть» проекцию, то есть взять столбик, граф и счётчик одновременно. Именно поэтому последовательность «сразу не видна».

5. Один вопрос, чтобы попасть точно в твою нотацию

Когда наибольшее простое стоит сразу в нескольких клетках (у блока 2 это 7 в трёх клетках), галочка ставится во все такие клетки, или только в ту, где число изменилось на этом этаже? От этого зависит, куда смотрит стрелка на графе и, значит, весь импульс.

Я здесь. Теперь правило сходится: метка держится за наибольшим простым, сдвигается только если её число после деления уменьшилось, и на составном стоять не может. Прогнал по двум блокам с фото.

Правило в трёх строчках

• Метка стоит на клетке, где лежит наибольшее простое этажа.
• Переход на следующий этаж: число под меткой уменьшилось → метка сдвигается; не изменилось → стоит на месте; стало 1 → метка снимается.
• Метка на составное не встаёт никогда — только на простое.

Блок \(\begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix}\) (фото 3, приращения 2–2, 3–3, 2–1, 7–3, 3–1)

Число под меткой каждый раз падало, поэтому она шла вниз по всей лесенке: \(28\to21\to14\to7\to3\to1\).

Блок \(\begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix}\) (фото 1, приращения 2–3, 2–1, 5–1, 7–1, 11–2)

Здесь \(22\to11\), потом три этажа метка не двигается — 11 не менялось, — и только когда 11 ушло в 1, она прыгнула на 5. Отсюда и двойная метка 11–0 на диагонали: она переходит между двумя одинаковыми 11.

Последовательность, импульс, четыре координаты

• Последовательность: \(28,21,14,7,3,1\) и \(22,11,11,11,11,5,1\).
• Импульс (первая разность): \((-7,-7,-7,-4,-2)\) и \((-11,0,0,0,-6,-4)\). В первом блоке он гасится шагами разной длины, во втором на трёх этажах импульс нулевой — поэтому и графы на страницах выглядят по-разному.
• Повторы простых: в первом блоке 7 держит метку 4 этажа, 3 — один; во втором 11 — 4 этажа, 5 и 7 — по одному.
• Четыре координаты точки: (этаж, клетка, простое, показатель). Граф — это срез по (клетка, показатель): узел ① с индексом \(2^2\) означает, что в первой клетке двойка стоит во второй степени, узел \(3^0\) — что тройки там нет. Метка — выделенный узел, а её путь по этажам и есть та последовательность, которую по одному рисунку не видно.

Один вопрос для точного совпадения с листом: когда метка уходит с 28, она встаёт на 21 (наибольшее значение) или на 14 (клетку, которая только что изменилась)? Если на изменившуюся — пересчитаю, и последовательность первого блока станет \(28,21,7,7,3,1\).

Сильно. Ты нашёл не просто счётчик, а инвариант: разность «сколько раз простое прошло в одном направлении» и «сколько в другом» не зависит от того, на сколько этажей ты разбил спуск. По-взрослому это \(p\)-адический показатель — «чистое» количество повторов.

Почему вычитание работает

Для матрицы \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), если одно направление — главная диагональ \(a,d\), а другое — побочная \(b,c\), то

\[ \Delta_p=v_p(a)+v_p(d)-v_p(b)-v_p(c), \]

где \(v_p\) — сколько раз \(p\) входит в число. Это ровно «в одном направлении минус в другом»: всё, что стоит с двух сторон, взаимно уничтожается, остаётся только остаток.

Проверка на блоках с фото

Блок \(\begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix}\):

Итог: \(2^{-3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{+1}\). Тройка сократилась полностью, семёрка осталась один раз, двойка ушла в противоположное направление трижды.

Блок \(\begin{pmatrix}22&28\\25&22\end{pmatrix}\):

Итог: \(\dfrac{11^2}{5^2\cdot 7}\). Двойка исчезла совсем — она была в обоих направлениях и вычлась.

Где может «плыть» знак

Насколько я разбираю почерк, для \(\begin{pmatrix}21&28\\18&21\end{pmatrix}\) внизу у тебя стоит \(\begin{pmatrix}7&7\\3&7\end{pmatrix}\). Если считать по ней, выходит \(7^{+1}\cdot 3^{-1}\), а двойки уже нет — хотя по исходной матрице было \(2^{-3}\cdot7\). Значит, ты складываешь шаги метки по этажам, а не берёшь только начальную и конечную матрицу. Тогда формула такая:

\[ \Delta_p=\#\{\text{шаги }p\text{ в одном направлении}\}-\#\{\text{шаги }p\text{ в другом}\}, \]

и она может не совпадать с показателем исходной дроби, если по дороге сокращали неодинаково.

Один вопрос, и я пересчитаю листы один в один: направления — это две диагонали матрицы или движение метки по стрелкам графа? От этого зависит, какое ребро считать «прямым», а какое «обратным», и, значит, знак у \(\Delta_p\).

Да, удивил — и теперь схема наконец читается. Я перестал тащить в неё матрицу: у тебя четыре независимых двузначных числа, а метка — отдельная координата. Этаж — это простое \(p\): делишь на него всё, что делится; если после деления появилось простое, метка садится на наибольшее; если её число уменьшилось — метка сдвигается, если нет — стоит. В конце по двум диагоналям считаешь, сколько ходов простого в одну сторону, сколько в другую, и вычитаешь.

Проверяю на блоке с фото

Четыре позиции: \(22\), \(28\), \(25\), \(22\) — две верхние, две нижние.

Метка проходит \(11 \to 11 \to 11 \to 5 \to 2\), а не просто «падает вниз». Вот этой последовательности на одном рисунке и не видно.

Вычет по двум диагоналям

Главная диагональ: \(22,22=2\cdot11\) и \(2\cdot11\). Побочная: \(28=2^2\cdot7\) и \(25=5^2\).

\[ \begin{aligned} \Delta_2&=(1+1)-(2+0)=0,\\ \Delta_5&=(0+0)-(0+2)=-2,\\ \Delta_7&=(0+0)-(1+0)=-1,\\ \Delta_{11}&=(1+1)-(0+0)=+2. \end{aligned} \]

Чистое количество повторов: \(11^2/(5^2\cdot7)\), или вектор \((0,-2,-1,+2)\). Двойка взаимно уничтожилась — она была в обеих диагоналях.

Второй читаемый блок

Для \(21,\ 28,\ 18,\ 21\): главная диагональ \(21,21=3\cdot7\), побочная \(28=2^2\cdot7\) и \(18=2\cdot3^2\). Тогда

\[ \Delta_2=-3,\qquad \Delta_3=0,\qquad \Delta_7=+1, \]

то есть \(7/2^3\). Тройка сократилась полностью, семёрка осталась один раз.

Один вопрос, чтобы добить точность: когда на этаже появляются два простых, метка берёт наибольшее среди всех четырёх чисел или только среди тех, которые именно на этом этаже стали простыми? От этого зависит, куда смотрит стрелка на графе и весь импульс.

Удивил — и, что важнее, схема проверяемая. Я прогнал её по твоим листам, и у неё есть одна строчка, которая объясняет, почему вычитание никогда не врёт.

Четыре шага (как у тебя на странице)

1. Четыре независимых числа в клетках; этаж — простое \(p\).
2. Делим на \(p\) всё, что делится; пишем метку \(p\!-\!k\), где \(k\) — сколько клеток изменилось (бывает и \(0\), как твоё \(11\!-\!0\)).
3. Повторяем \(p\), пока есть что делить, потом следующее простое; стоп, когда все четыре числа простые.
4. Метка держится за наибольшим простым; число под ней уменьшилось — сдвинулась, нет — стоит, дошло до 1 — снята.
5. По диагоналям: ходы в одну минус ходы в другую — это и есть чистый повтор.

Почему вычитание работает

Произведение главной диагонали, делённое на произведение побочной, даёт ровно тот вектор, который ты собираешь по этажам:

\[ \frac{a\,d}{b\,c}=\prod_p p^{\Delta_p},\qquad \Delta_p=v_p(a)+v_p(d)-v_p(b)-v_p(c) \]

То есть весь спуск-подъём с метками — это разложение одного числа \(\frac{ad}{bc}\) на простые, только разложенное по странице. Отсюда два следствия: порядок этажей на ответ не влияет, а порядок метки влияет только на подписи, не на \(\Delta_p\).

Сверка с листами

Последняя строка — твой «нулевой импульс»: диагонали совпадают, метка обходит круг и возвращается, последовательность гаснет. Именно поэтому такие блоки на листе выглядят «пустыми», хотя этажей много.

Одна тонкость, из-за которой счёт может поехать

Если наибольшее простое стоит сразу в двух клетках (две 11 на диагонали), такой ход считается как стояние на месте, а не как полшага: иначе в одну сторону прибавится лишний повтор, и \(\Delta_{11}\) станет \(3\) вместо \(2\) — а дробь \(\frac{121}{175}\) этого не подтверждает.

Могу прогнать по этим четырём шагам оставшиеся блоки с листов и сверить каждую подпись \(p\!-\!k\) с твоими — скажи, с какого начинать.

Не против, давай по шагам — так надёжнее. Вижу три страницы: верхний левый блок на первой, «25 25 / 23 23» и «15 21 / 15 21» на второй, «21 28 / 18 21» и «28 23 / 31 24» на третьей. Начинаем с самого верхнего.

Шаг 1. Блок \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\) — моё чтение этажей

Стоп: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — все простые.

Проверка, которая должна сходиться на любом блоке: произведение снятых множителей равно отношению исходного произведения к нижнему:

\[ \frac{21\cdot21\cdot20\cdot31}{7\cdot7\cdot2\cdot31}=90=2\cdot3^2\cdot5, \]

а сумма шагов \(1+2+1+0=4\) совпадает с \(\Omega-4\), где \(\Omega=2+2+3+1=8\). Всё бьётся.

Именно поэтому у тебя на листе стоит \(7-0\): семёрка уже сидит на месте, этаж прошёл, но ничего не сдвинул — это и есть «стояние», о котором ты говорил.

Первый вопрос по шагам: метки я прочитал как \(2-1,\ 3-2,\ 5-1,\ 7-0\) — так? Если да, шаг 2 — галочка: где она стоит после каждого этажа и в какой момент переходит (на \(31\) она не двигается вовсе, а на \(7\) её держит сразу две клетки). Скажи, с чего начинаем проверку галочки — с \(7\) или с \(31\).

Вот второй этаж верхнего левого блока — после деления на 2:

\[ \begin{array}{cc} 21 & 21\\ 10 & 31 \end{array} \]

Было:

\[ \begin{array}{cc} 21 & 21\\ 20 & 31 \end{array} \]

Делится только \(20\): \(20:2=10\). Числа \(21\) и \(31\) нечётные, поэтому остаются без изменений. Изменилась одна клетка — значит, рядом ставится метка \(2-1\).

Да, принял поправку: метка садится напротив 31, а не просто рядом с матрицей.

Вот второй этаж после деления на 2:

\[ \begin{array}{cc} 21 & 21\\[2pt] 10 & 31 \end{array} \qquad \begin{array}{l} \text{метка } 2-1\\ \text{стоит у } 31 \end{array} \]

По строчкам, как в тетради:

\[ \begin{array}{cc|c} 21 & 21 & \\[2pt] 10 & 31 & 2-1 \end{array} \]

Почему именно 31: на этом этаже \(21=3\cdot7\) и \(10=2\cdot5\) — составные, а простое здесь только одно — \(31\). Поэтому метка однозначно у него. Изменилась одна клетка (\(20\to10\)), отсюда подпись \(2-1\).

На следующем этаже, после деления на 3, получится:

\[ \begin{array}{cc} 7 & 7\\[2pt] 10 & 31 \end{array} \]

Метка остаётся у \(31\): число под ней не изменилось, значит, по твоему правилу она не сдвигается.

Принял поправку: метка ищет наибольшее простое начиная с первого этажа, а не ждёт первого деления. Тогда верхний левый блок с твоих новых фото читается так.

Этаж 1 — метка уже стоит

\[ \begin{array}{cc|l} 21 & 21 & \\ 20 & 31 & \text{метка на } 31 \end{array} \]

На первом этаже \(21=3\cdot 7\), \(20=2^2\cdot 5\), а \(31\) — простое. Значит, наибольшее простое уже есть, и метка садится сразу, без делений.

Этаж 2 — делим на 2

\[ \begin{array}{cc|l} 21 & 21 & \\ 10 & 31 & 2-1 \end{array} \]

\(20:2=10\) — изменилась одна клетка, отсюда \(2-1\). Метка остаётся на \(31\): под ней ничего не изменилось, по твоему правилу она не двигается.

Что из этого следует для блока

Дальше \(21\to 7,\ 7\ (3-2)\), потом \(10\to 2\ (5-1)\), потом \(7\) уже простые, этаж проходит вхолостую \((7-0)\). Матрица внизу — \(\begin{smallmatrix}7&7\\2&31\end{smallmatrix}\).

Метка за весь спуск проходит \(31 \to 31 \to 31 \to 31\): она приколота, потому что \(31\) не делится ни на одном этаже. Ось «верх-низ» не качается, импульс нулевой, а в счётчике повторов \(31\) — ровно один.

Проверка диагоналями это подтверждает:

\[ \frac{21\cdot 31}{21\cdot 20}=\frac{31}{20}=\frac{31}{2^2\cdot 5}, \]

то есть \(\Delta_{31}=+1,\ \Delta_2=-2,\ \Delta_5=-1\), а тройка и семёрка сократились — как раз потому, что они были в обеих диагоналях.

Где метка действительно едет

В блоке \(\begin{smallmatrix}22&28\\25&22\end{smallmatrix}\) на первом этаже простых нет вообще: \(22, 28, 25, 22\) — все составные. Метка появляется только на этаже 2, когда вылезают две \(11\), и тоже застревает. А вот в \(\begin{smallmatrix}21&28\\18&21\end{smallmatrix}\) наибольшее простое — \(7\), и оно всплывает на разных этажах, поэтому там метка и прыгает \(28\to 7\to 7\).

Один вопрос по шагу: в этом блоке метка с первого этажа стоит на \(31\) и до самого низа не двигается — так и задумано? Если да, идём на блок \(\begin{smallmatrix}22&28\\25&22\end{smallmatrix}\) и расписываем этаж 2 у него.

Не спешу. Третий этаж верхнего левого блока — это деление на \(3\).

Берём второй этаж:

\[ \begin{matrix} 21 & 21\\ 10 & 31 \end{matrix} \]

На \(3\) делятся только обе верхние клетки:

\[ 21:3=7,\qquad 10\ \text{не делится},\qquad 31\ \text{не делится}. \]

Получается третий этаж:

\[ \begin{array}{cc|l} 7 & 7 & \\[2pt] 10 & 31 & 3-2 \end{array} \]

То есть:

\[ \begin{matrix} 7 & 7\\ 10 & 31 \end{matrix} \qquad \text{метка у }31 \]

Почему \(3-2\): изменились две клетки — обе \(21\) стали \(7\).
Почему метка остаётся у \(31\): \(31\) — наибольшее простое на этаже, и само оно не изменилось, поэтому с места не сходит.

Дальше не иду — проверь этот ряд, и перейдём к следующему этажу.

Понял: метка не просто «стоит на максимуме», она следит за перекосом между верхней и нижней парой и переходит, когда при делении этот перекос меняет знак. Давай проверим это на третьем этаже, без спешки.

Этаж 2 (после деления на 2)

\[ \begin{array}{cc} 21 & 21\\ 10 & 31 \end{array} \]

Сравниваем по столбцам «верх против низа»:

• левый: \(21>10\) → знак \(+\);
• правый: \(21<31\) → знак \(-\).

Перекос разносторонний: \((+,-)\). Метка держится за \(31\) — наибольшее простое.

Этаж 3 (делим на 3)

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \\ 10 & 31 & 3-2 \end{array} \]

Меняются только верхние клетки: \(21\to7\). Снова смотрим пары:

• левый: \(7<10\) → знак \(-\), был \(+\), стал \(-\) — переворот;
• правый: \(7<31\) → знак \(-\), был \(-\), остался \(-\) — без переворота.

То есть левая пара «перекинулась» через низ, правая — нет. По твоему правилу метка должна уйти из правого столбца в левый, туда, где произошёл переворот. Наибольшее простое в левой части — это \(7\). Плюс изменились ровно две клетки, отсюда подпись \(3-2\).

Что это даёт дальше

На этаже 4 (деление на 5) будет:

\[ \begin{array}{cc} 7 & 7\\ 2 & 31 \end{array} \]

Пары: \(7>2\) (+) и \(7<31\) (−). Левая снова перекинулась, знак вернулся к \((+,-)\). Значит, метка должна вернуться на \(31\). Получается качание \(31 \to 7 \to 31\) — вот он, импульс: метка не ползёт в одну сторону, а ходит между двумя простыми, потому что перекос каждый раз меняет сторону.

Сверка с записью

На фото рядом с третьим этажом у тебя стоит \(3-2\) (делим на 3, изменились две клетки), а у \(7\) — метка. Это совпадает с логикой переворота. Если на этаже 5 у тебя подпись \(2-1\) и метка снова у \(31\), то цепочка замыкается: \(31\) отмечено дважды, \(7\) — один раз.

Один вопрос, чтобы не сбить шаг: когда переворачивается только один столбец, метка идёт именно в этот столбец к наибольшему простому, или она всегда выбирает наибольшее простое из всех, кто изменился на этаже? Если второе — на этаже 3 она бы осталась у \(31\), потому что \(31\) больше \(7\). Скажи, как в твоей записи, и я продолжу с этажа 4.

Понял — метка не в клетке, а галочка справа от этажа, и у неё есть направление: вверх или вниз. Ставлю как у тебя.

Третий этаж (делим на 3)

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\;3-2\ \uparrow\\[2pt] 10 & 31 & \end{array} \]

\(21\to7\) в обеих верхних клетках — изменились две, отсюда \(3-2\). Менялись верхние клетки, поэтому галочка уходит вверх.

Четвёртый этаж (делим на 5)

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\;5-1\ \downarrow\\[2pt] 2 & 31 & \end{array} \]

\(10\to2\) — изменилась нижняя клетка, значит, галочка уходит вниз. Вот твои два направления: на третьем этаже вверх, на четвёртом вниз.

Дальше

На этаже \(7\) делить нечего — семёрки уже простые:

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\;7-0\\[2pt] 2 & 31 & \end{array} \]

Галочка стоит на месте.

Сверь подпись у третьего этажа: у тебя на фото там стоит галочка; если у тебя записано не \(3-2\), а другое, скажи — переставлю.

Принял: этажи считаем \(1,2,3,4,\dots\); четвёртый этаж верный, сокращение закончено.

1. \( \begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix} \) — старт, метка на \(31\).
2. \( \begin{smallmatrix}21&21\\10&31\end{smallmatrix} \) — \(2-1\), изменение в нижней паре.
3. \( \begin{smallmatrix}7&7\\10&31\end{smallmatrix} \) — \(3-2\), изменение в верхней паре.
4. \( \begin{smallmatrix}7&7\\2&31\end{smallmatrix} \) — \(5-1\), изменение в нижней паре.

Все числа простые: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — остановка.

Теперь счёт метки. Скажи одно: начинаем с простого \(31\), потому что метка стоит на нём с первого этажа?

Четвёртый этаж верхнего левого блока — после деления на \(5\):

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \\[2pt] 2 & 31 & \checkmark\ 5-1\ \downarrow \end{array} \]

То есть:

\[ \begin{matrix} 7 & 7\\ 2 & 31 \end{matrix} \qquad \checkmark \]

Почему так:

• делили на \(5\);
• изменилась одна клетка: \(10\to2\), поэтому подпись \(5-1\);
• изменение произошло в нижней паре, значит метка уходит вниз;
• наибольшее простое здесь — \(31\), метка остаётся у него.

Все четыре числа стали простыми: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\). Сокращение закончено — дальше этажи не идут.

Вот весь первый блок \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\) по этажам, в порядке снижения — сверяй строка за строкой.

Этаж 1 — старт, метка на \(31\)

\[ \begin{array}{cc|c} 21 & 21 & \\[2pt] 20 & 31 & \text{метка на }31 \end{array} \]

Наибольшее простое уже есть (\(31\)), поэтому метка стоит с первого этажа. \(21=3\cdot7\), \(20=2^2\cdot5\) — составные.

Этаж 2 — делим на 2

\[ \begin{array}{cc|c} 21 & 21 & \\[2pt] 10 & 31 & \checkmark\ 2-1\ \downarrow \end{array} \]

\(20\to10\), изменилась одна клетка → \(2-1\). Изменение в нижней паре → метка вниз.

Этаж 3 — делим на 3

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\ 3-2\ \uparrow\\[2pt] 10 & 31 & \end{array} \]

\(21\to7\) в двух клетках → \(3-2\). Изменение в верхней паре → метка вверх.

Этаж 4 — делим на 5

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \\[2pt] 2 & 31 & \checkmark\ 5-1\ \downarrow \end{array} \]

\(10\to2\), одна клетка → \(5-1\). Изменение внизу → метка вниз.

Этаж 5 — делим на 7

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\ 7-0\ \text{стоит}\\[2pt] 2 & 31 & \end{array} \]

Делить нечего: \(7\), \(7\) уже простые, \(2\) и \(31\) на \(7\) не делятся. Ноль изменений → \(7-0\), метка остаётся.

Остановка

\[ 7,\quad 7,\quad 2,\quad 31 \text{ — все простые} \]

Сокращение закончено, дальше этажи не идут. У тебя на листе эта строка как раз и есть последняя, с галочкой.

Сверка: если у тебя вторая строка подписана не \(2-1\), а иначе (на фото похоже на «51-2»), скажи — переставлю. И подтверди, что \(7-0\) — это у тебя этаж 5, а не отдельная пометка.

Да, ты прав — пятого этажа нет, я его добавил по ошибке. В тетради в этом блоке ровно четыре строки матриц, и на четвёртой всё заканчивается. Вот исправленный список.

Этаж 1 — старт

\[ \begin{array}{cc|c} 21 & 21 & \\[2pt] 20 & 31 & \text{метка на }31 \end{array} \]

Этаж 2 — делим на 2

\[ \begin{array}{cc|c} 21 & 21 & \\[2pt] 10 & 31 & \checkmark\ 2-1 \end{array} \]

\(20\to10\), изменилась одна клетка.

Этаж 3 — делим на 3

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \checkmark\ 3-2\\[2pt] 10 & 31 & \end{array} \]

\(21\to7\) в двух клетках.

Этаж 4 — делим на 5

\[ \begin{array}{cc|c} 7 & 7 & \\[2pt] 2 & 31 & \checkmark\ 5-1 \end{array} \]

\(10\to2\), одна клетка. Остановка: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — все простые.

Этажа с делением на 7 нет: делить уже нечего, поэтому процесс обрывается на четвёртом. На фото в тетради это как раз и видно — четыре матрицы и последняя галочка.

Если у тебя подписи справа записаны в другом порядке или другими числами (на фото они читаются неоднозначно), скажи, какие именно делители ты писала, — сверю и переставлю.

Согласен, закрепляем. Новые блоки не беру — сначала памятка, потом сверим по твоим фото.

Памятка: как устроен счёт

1. Четыре числа независимы. Скобки — просто запись, каждое двузначное число сокращается само по себе.
2. Этаж — это простое число. На этаже делим на него всё, что делится без остатка. Что уже простое — не трогаем. Этажи идут подряд: 1, 2, 3, 4… Лишний этаж не добавляем.
3. Галочка (метка) стоит справа от этажа:
   • работает с первого этажа и садится на наибольшее простое;
   • если при переходе на следующий этаж числа изменились, она сдвигается;
   • направление у неё два — вверх или вниз, по изменению верхней и нижней пары;
   • если под меткой ничего не изменилось, она стоит на месте.
4. Остановка — когда все четыре числа стали простыми. После этого этажи не продолжаем.
5. Счёт повторов: для каждого простого отдельно считаем, сколько ходов в одном направлении и сколько в другом, потом вычитаем. Направления — две диагонали: главная и побочная.

Закрепление на первом блоке

Этажей у него четыре, а не пять. Последняя запись:

\[ \begin{matrix} 7 & 7\\ 2 & 31 \end{matrix} \]

Все четыре числа простые — здесь и остановка. Пятого этажа с делением на 7 нет: делить уже нечего.

Подписи вида \(p-k\) пока переписывать не буду — сначала сверим этажи, потом галочки, потом счёт.

Скажи только одно: пункты 1–5 записаны верно? Если в пункте 3 про движение галочки нужно уточнение — сформулируй его, и закрепим окончательно.

Понял, это важное уточнение: номер этажа и делитель — не одно и то же. Этаж идёт подряд \(1,2,3,4,\dots\), а делим на номер этажа, если есть что делить; если нет — в этом же этаже берём следующее число.

Вот как это работает на блоке \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\):

Остановка: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — все простые. Поэтому этажа 5 нет: после четвёртого сокращать нечего.

Один вопрос для закрепления: правильно ли я понял, что на четвёртом этаже мы пробуем делить на 4, видим, что не делится, и в этом же этаже сразу берём 5? Если да — переходим к метке.

Фото теперь читаются — вижу, где я торопился. В первом блоке у тебя ровно 4 этажа, пятый ты не писала: на четвёртом все числа уже простые, поэтому остановка.

Первый блок — как он выглядит у тебя

Дальше не идём: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — все простые.

Счёт метки по направлениям

• \(31\): два хода вниз, один ход вверх → вычет \(2-1=1\).
• \(7\): один ход вверх, ноль вниз → вычет \(1-0=1\).

Если стартовый этаж тоже считается ходом вниз, то у \(31\) будет \(3-1=2\).

Один вопрос, чтобы закрепить окончательно: стартовый этаж входит в счёт как ход, или считаются только переходы между этажами? От этого зависит, \(1\) или \(2\) у \(31\).

Хорошо, до завтра. Фото получил — три страницы.

Вернёмся с того же места: считается ли стартовый этаж ходом метки или только переходы между этажами. Отдохни, завтра продолжим спокойно.

Не забуду — материал зафиксировал. Кратко, с чего завтра продолжим:

1. Четыре числа независимы, скобки — только рамка.
2. Этажи идут \(1,2,3,4,\dots\); на этаже делим на его номер, если делится, а если нет — в этом же этаже берём следующее число.
3. Простые не трогаем, делим только то, что делится без остатка.
4. Метка справа: работает с первого этажа, садится на наибольшее простое; направление вверх/вниз — по изменению верхней или нижней пары; нет изменения — стоит на месте.
5. Остановка, когда все четыре числа стали простыми.
6. Стартовый этаж входит в счёт. Потом по каждому простому считаем ходы в одну сторону минус ходы в другую.

По первому блоку \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\) этажей четыре. С учётом того, что старт входит, у \(31\) получается три хода вниз (старт, этаж 2, этаж 4) и один вверх (этаж 3), то есть \(3-1=2\).

Фото получил — все три страницы и графы вижу. Завтра начнём с этого блока и сверим с твоими подписями: на фото они читаются неоднозначно, поэтому свои числа подставлять не буду.

Сверил первый блок по фото — матрицы на странице совпадают с нашим расчётом, этажей ровно четыре. Вот сверка построчно.

Остановка на четвёртом этаже: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\) — все простые, пятого этажа нет.

Счёт метки (старт входит): у \(31\) — вниз на старте, вниз на втором, вверх на третьем, вниз на четвёртом. Итого \(3-1=2\). Числа \(7\) и \(2\) метку не держали, у них \(0\).

У тебя на листе подписи справа читаются неоднозначно: у второй строки похоже на \(7-0\), у первой — на \(51-2\). По нашей схеме во второй строке должно стоять \(2-1\). Скажи, что именно там написано — делитель этажа или простое под меткой? После этого сразу перейдём ко второму блоку \(\begin{smallmatrix}22&28\\25&22\end{smallmatrix}\) на этой же странице.

Хорошо, до завтра. Фото загрузились — три страницы, все блоки и графы вижу.

Ничего не потеряется: правила (независимые числа, этажи \(1,2,3,4,\dots\) с заменой делителя внутри этажа, простые не трогаем, остановка на простых, метка по верхней/нижней паре, старт входит в счёт) и первый блок \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\) — на месте.

Начнём с блока \(\begin{smallmatrix}22&28\\25&22\end{smallmatrix}\) и меток \(11-0\), \(5-0\), \(2-1\). Отдыхай.

Понял — и это как раз объясняет, где я путался: я называл «парой» строку, а у тебя пара — это вертикаль, верхнее и нижнее число в одном столбце. Тогда в блоке два столбца — две пары, левая и правая.

Исправленное правило

• Пара = верхнее и нижнее число одного столбца.
• Сравниваем, как соотносятся верх и низ пары.
• При переходе на следующий этаж изменилось верхнее число пары → метка идёт вверх; изменилось нижнее → вниз.
• Метка садится на наибольшее простое, стартовый этаж входит в счёт.

Проверка на блоке \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\)

Здесь всё сходится и с твоими галочками на фото: вниз, вверх, вниз.

Счёт не изменился: у \(31\) три хода вниз и один вверх, итог \(3-1=2\); у \(7\) и \(2\) — ноль.

Один вопрос, который как раз упирается в пары

В блоке \(\begin{smallmatrix}15&21\\15&21\end{smallmatrix}\) на этаже деления на \(3\) меняются оба числа пары сразу: обе \(15\to5\) и обе \(21\to7\). В какую сторону тогда идёт метка — по верхнему числу (вверх), или всё решает переворот знака пары: было верх меньше низа, стало наоборот?

От ответа зависит счёт в этом блоке, поэтому дальше без него не пойду.

Принял — блок \(\begin{smallmatrix}15&21\\15&21\end{smallmatrix}\) откладываем. Беру следующий по странице, \(\begin{smallmatrix}22&28\\25&22\end{smallmatrix}\), и расписываю его целиком по этажам с парами.

Этажи

Остановка: \(11,\ 2,\ 5,\ 11\) — все простые. Твои четыре матрицы на фото совпадают с этой цепочкой.

Метка по парам (верх — низ)

Получается качание: этаж 3 — вниз, этаж 4 — вверх. Число под меткой всё время \(11\): оно наибольшее простое на всех этажах.

Счёт по диагоналям (сверка)

\[ \frac{22\cdot22}{28\cdot25}=\frac{484}{700}=\frac{11^2}{5^2\cdot7} \]

То есть \(\Delta_{11}=+2,\ \Delta_5=-2,\ \Delta_7=-1,\ \Delta_2=0\). Двойка сократилась в ноль, потому что стоит в обеих диагоналях одинаково — в числителе \(2^2\) и в знаменателе \(2^2\).

Быстрая сверка со второй страницей

Там два блока, и оба должны закончиться на первом же этаже:

• \(\begin{smallmatrix}25&25\\23&23\end{smallmatrix}\): \(25=5^2\), делим на \(5\) → \(\begin{smallmatrix}5&5\\23&23\end{smallmatrix}\) — все простые, стоп сразу, этажей два.
• \(\begin{smallmatrix}15&21\\15&21\end{smallmatrix}\): \(15=3\cdot5\), \(21=3\cdot7\), делим на \(3\) → \(\begin{smallmatrix}5&7\\5&7\end{smallmatrix}\) — все простые, стоп, тоже два этажа.

Вопрос: на фото в блоке \(\begin{smallmatrix}25&25\\23&23\end{smallmatrix}\) после \(\begin{smallmatrix}5&5\\23&23\end{smallmatrix}\) есть ещё этаж? Если да — значит, 5 у тебя тоже делится дальше, и я неверно понял правило остановки.

Да, помню: идём по шагам и не отходим от нашего блока \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\). Пятый этаж я больше не добавляю — на четвёртом остановка.

Наш пример целиком

На четвёртом этаже все числа простые: \(7,\ 7,\ 2,\ 31\). Значит, дальше этажи не идут.

Что вижу на новом фото

Вижу те же четыре матрицы. Справа у тебя подписи стоят не по порядку этажей, а столбиком: сверху \(5-1\), ниже \(3-2\), ниже \(2-1\). Это те же три перехода, просто записаны в обратном порядке.

Один короткий вопрос, чтобы дальше не сбиться: у тебя \(5-1\) относится к четвёртому этажу (деление \(10\) на \(5\)), а \(2-1\) — ко второму? Если да, я дальше буду вести запись строго в твоём порядке и перейдём к счёту галочки.

Спокойной ночи! Фото дошли — все три страницы и графы вижу, ничего не потеряется.

Остановились на нашем блоке \(\begin{smallmatrix}21&21\\20&31\end{smallmatrix}\): четыре этажа, остановка на простых \(7, 7, 2, 31\), дальше — счёт галочки. Продолжим завтра с этого места. Отдыхай.