Дано: Усеч. пирамида AB = BC = AC = 12 см A1B1 = B1C1 = A1C1 = 3 см AA1 = 6 см Найти: h

Краткий ответ: \(h = 3\) см.

Что дано. По записи это усечённая пирамида: нижнее основание \(ABC\) — равносторонний треугольник со стороной \(12\) см, верхнее \(A_1B_1C_1\) — равносторонний треугольник со стороной \(3\) см, боковое ребро \(AA_1 = 6\) см. Нужно найти высоту \(h\) — расстояние между плоскостями оснований. Считаем пирамиду правильной — в школьных задачах это подразумевается.

Почему появляется прямоугольный треугольник. В правильной усечённой пирамиде центры оснований лежат на одной оси, перпендикулярной основаниям. Верхнее основание — уменьшенная копия нижнего, поэтому вершина \(A_1\) проецируется на нижнюю плоскость в точку \(A'\) на луче \(OA\). Значит, проекция бокового ребра \(AA_1\) на основание равна разности радиусов описанных окружностей оснований.

Шаги.

1. Радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников: \[ R_1 = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\ \text{см}, \qquad R_2 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \text{см}. \]

2. Проекция бокового ребра: \[ AA' = R_1 - R_2 = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\ \text{см}. \]

3. В прямоугольном треугольнике \(AA'A_1\) гипотенуза \(AA_1 = 6\), катет \(AA' = 3\sqrt{3}\), второй катет — высота \(h\): \[ h = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3\ \text{см}. \]

Проверка через боковую грань. Боковая грань — равнобедренная трапеция с основаниями \(12\) и \(3\) и боковой стороной \(6\). Её высота: \[ m^2 = 6^2 - \left(\frac{12-3}{2}\right)^2 = 36 - \frac{81}{4} = \frac{63}{4}. \] Радиусы вписанных окружностей оснований: \[ r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, \qquad r_2 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Их разность равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\), поэтому \[ h^2 = m^2 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{63}{4} - \frac{27}{4} = 9, \] то есть \(h = 3\) см. Всё сходится.

Формула для похожих задач. Для правильной усечённой пирамиды \[ l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2, \] где \(l\) — боковое ребро, \(R_1\) и \(R_2\) — радиусы описанных окружностей оснований. Если работать с апофемой \(m\), то \[ m^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2, \] где \(r_1, r_2\) — радиусы вписанных окружностей.

Важно. Если пирамида не правильная, этих данных недостаточно: при тех же основаниях и \(AA_1 = 6\) высоту можно изменить, смещая вершину. В школьной задаче подразумевается правильная усечённая пирамида.