9. Решите систему 1) y = x + 1, y = x² − 2 2) y = 1, y = x² + 3 3) y = 2x + 1, y = x² − 3

Кратко — решения систем из № 9:

1. \(\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};\;\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\) и \(\left(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2};\;\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\);
2. решений нет;
3. \(\left(1+\sqrt{5};\;3+2\sqrt{5}\right)\) и \(\left(1-\sqrt{5};\;3-2\sqrt{5}\right)\);
4. четвёртая система на фото обрезана — её условие не читается.

Как устроен способ (подстановка)

Оба уравнения задают \(y\), поэтому правые части можно приравнять — получится квадратное уравнение (об этом и предупреждает подсказка в учебнике). Найденные \(x\) подставляем в более простое, линейное уравнение и находим \(y\). Сколько действительных корней у квадратного уравнения — столько решений у системы.

Система 1 \[ x+1=x^2-2 \;\Rightarrow\; x^2-x-3=0, \] \[ D=1+12=13,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}, \] \[ y=x+1=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}. \]

Система 2 \[ 1=x^2+3 \;\Rightarrow\; x^2=-2. \] Квадрат не может быть отрицательным, поэтому действительных решений нет.

Система 3 \[ 2x+1=x^2-3 \;\Rightarrow\; x^2-2x-4=0, \] \[ D=4+16=20,\qquad x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}, \] \[ y=2x+1=3\pm 2\sqrt{5}. \]

Проверка (я проверил подстановкой) Система 1: \(x\approx 2{,}30\), \(y\approx 3{,}30\); \(x^2-2\approx 5{,}30-2=3{,}30\) — сходится. Система 3: \(x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}24\), \(y=3+2\sqrt{5}\approx 7{,}47\); \(x^2-3\approx 10{,}47-3=7{,}47\) — сходится.

Про пары из списка Пары 1) \((-4;-5)\), 2) \((4;3)\), 3) \((-3;-4)\), 4) \((5;4)\) не подходят ни к одной из систем 1–3: например, в системе 1 при \(x=4\) первое уравнение даёт \(y=5\), а второе \(y=14\). Похоже, они относятся к другому номеру (возможно, к обрезанной системе 4) — для них нужен отдельный чёткий кадр.