189 В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что точка принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

Ответ: \(P=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785\), то есть около \(78{,}5\%\).

Как это получается

Для геометрической вероятности берут отношение площадей:

\[ P=\frac{\text{площадь благоприятной области}}{\text{площадь всей области}}. \]

1. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда его площадь: \[ S_{\text{квадрата}}=a^2. \]

2. Вписанный в квадрат круг касается всех его сторон, поэтому его радиус: \[ r=\frac{a}{2}. \]

3. Площадь круга: \[ S_{\text{круга}}=\pi r^2=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}. \]

4. Значит, \[ P=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2}=\frac{\pi}{4}. \]

Проверка: если взять квадрат \(2\times2\), то радиус вписанного круга равен \(1\). Площадь квадрата \(4\), площадь круга \(\pi\), и вероятность снова \(\frac{\pi}{4}\). Размер квадрата сокращается, поэтому ответ от него не зависит. Граница круга имеет нулевую площадь, так что она на вероятность не влияет.