Степень с целым показателем. Вариант 1. А1. Вычислите: а) 2⁻³·2/3⁻²; б) (−3)⁻³; в) 3⁵+(1/5)⁻².

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Степень с целым показателем
Вариант 1

А1. Вычислите:
а) $2^{-3}\cdot \frac{2}{3^{-2}}$;
б) $(-3)^{-3}$;
в) $3^{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.

А2. Найдите значение выражения:
а) $\frac{2^{-4}\cdot 8^{2}}{4^{6}}$;
б) $9^{-2}\cdot 3^{5}\cdot 27$;
в) $\frac{(2\sqrt{5})^{2}}{15}$.

А3. Сравните:
$(1{,}3\cdot 10^{-3})\cdot (3\cdot 10^{-1})$ и $0{,}004$.

А4. Упростите выражение:
$\left(\frac{4x^{-1}}{y^{-2}}\right)^{-3}\cdot 128x^{-3}y^{5}$.

В1. Запишите выражение
$\frac{125^{-1}\cdot 25^{5}}{625^{0}\cdot 5^{-3}}$
в виде степени числа 5.

Answer

Кратко

А1: а) $2{,}25$; б) $-\frac{1}{27}$; в) $268$.

А2: а) $\frac{1}{1024}$; б) $81$; в) $\frac{4}{3}$.

А3: $(1{,}3\cdot10^{-3})\cdot(3\cdot10^{-1})<0{,}004$.

А4: $\frac{2}{y}$.

В1: $5^{10}$.

Как решать

Главные правила:
$$
a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^n,
$$
$$
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1.
$$

А1

а) Отрицательная степень переворачивает число:
$$
2^{-3}\cdot\frac{2}{3^{-2}}
=\frac{1}{2^3}\cdot 2\cdot3^2
=\frac{1}{8}\cdot18
=\frac94=2{,}25.
$$

б)
$$
(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=-\frac{1}{27}.
$$

в)
$$
3^5+\left(\frac15\right)^{-2}
=243+5^2
=243+25=268.
$$

А2

а) Приводим всё к основанию $2$:
$$
\frac{2^{-4}\cdot8^2}{4^6}
=\frac{2^{-4}\cdot(2^3)^2}{(2^2)^6}
=2^{-4+6-12}
=2^{-10}
=\frac{1}{1024}.
$$

б) Приводим к основанию $3$:
$$
9^{-2}\cdot3^5\cdot27
=(3^2)^{-2}\cdot3^5\cdot3^3
=3^{-4+5+3}
=3^4=81.
$$

в)
$$
\frac{(2\sqrt5)^2}{15}
=\frac{4\cdot5}{15}
=\frac{20}{15}
=\frac43.
$$

А3

$$
(1{,}3\cdot10^{-3})\cdot(3\cdot10^{-1})
=3{,}9\cdot10^{-4}
=0{,}00039.
$$
Поэтому
$$
0{,}00039<0{,}004.
$$

А4

Сначала уберём «двухэтажную» дробь:
$$
\frac{4x^{-1}}{y^{-2}}=4x^{-1}y^2.
$$
Тогда
$$
\left(4x^{-1}y^2\right)^{-3}\cdot128x^{-3}y^5
=4^{-3}x^3y^{-6}\cdot128x^{-3}y^5.
$$
Сокращаем:
$$
=\frac{128}{64}\cdot x^{3-3}\cdot y^{-6+5}
=2\cdot x^0\cdot y^{-1}
=\frac{2}{y}.
$$

В1

$$
125=5^3,\quad 25=5^2,\quad 625=5^4.
$$
$$
\frac{125^{-1}\cdot25^5}{625^0\cdot5^{-3}}
=\frac{5^{-3}\cdot5^{10}}{1\cdot5^{-3}}
=\frac{5^7}{5^{-3}}
=5^{7-(-3)}
=5^{10}.
$$

Проверка для А4: $\frac{x^3}{x^3}=1$, $\frac{y^5}{y^6}=\frac1y$, коэффициент $\frac{128}{64}=2$.