Вариант 7. Решите иррациональные уравнения: 1. √2x − 2 = 4; 2. √x² − 56 = 5; 3. √2x − 18 = x − 9

Кратко:

1. \(x=18\);
2. \(x=-9\) или \(x=9\);
3. \(x=9\) или \(x=11\);
4. \(x=8\);
5. \(x=7\);
6. \(x=2\) или \(x=7\);
7. \(x=5\);
8. \(x=6\) или \(x=33\);
9. \(x=16\);
10. \(x=10\) или \(x=17\).

Общий принцип. Если \(\sqrt{A}=B\), сначала нужно \(B\ge 0\), затем возвести в квадрат. Если \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\), можно приравнять \(A=B\), но проверить ОДЗ. Когда радикалов несколько, один уединяют и возводят в квадрат, потом повторяют. В конце обязательна проверка: возведение в квадрат может добавить посторонний корень.

1. \(\sqrt{2x}-2=4\).
   \[ \sqrt{2x}=6 \Rightarrow 2x=36 \Rightarrow x=18. \]

2. \(\sqrt{x^2-56}=5\).
   \[ x^2-56=25 \Rightarrow x^2=81 \Rightarrow x=\pm 9. \]

3. \(\sqrt{2x-18}=x-9\). Нужно \(x\ge 9\).
   \[ 2x-18=(x-9)^2=x^2-18x+81, \] \[ x^2-20x+99=0 \Rightarrow (x-9)(x-11)=0. \] Оба корня подходят: \(x=9,\ 11\).

4. \(\sqrt{x-7}=\sqrt{9-x}\).
   \[ x-7=9-x \Rightarrow 2x=16 \Rightarrow x=8. \]

5. \(x+3=\sqrt{x^2+5x+16}\), причём \(x\ge -3\).
   \[ (x+3)^2=x^2+5x+16, \] \[ x^2+6x+9=x^2+5x+16 \Rightarrow x=7. \]

6. \(\sqrt{x^2-9x+50}=6\).
   \[ x^2-9x+50=36 \Rightarrow x^2-9x+14=0, \] \[ (x-2)(x-7)=0 \Rightarrow x=2,\ 7. \]

7. \(\sqrt{15-2x}=\sqrt{10-x}\).
   \[ 15-2x=10-x \Rightarrow x=5. \]

8. \(\sqrt{x+3}+\sqrt{42-x}=9\).
   \[ 45+2\sqrt{(x+3)(42-x)}=81, \] \[ \sqrt{(x+3)(42-x)}=18. \] \[ (x+3)(42-x)=324 \Rightarrow x^2-39x+198=0, \] \[ (x-6)(x-33)=0 \Rightarrow x=6,\ 33. \]

9. \(\sqrt{x}=x-12\). Нужно \(x\ge 12\).
   \[ x=(x-12)^2 \Rightarrow x^2-25x+144=0, \] \[ (x-9)(x-16)=0. \] Корень \(x=9\) не подходит, потому что \(9-12<0\). Остаётся \(x=16\).

10. \(\sqrt{x+15}-\sqrt{19-x}=\sqrt{2x-16}\). ОДЗ: \(8\le x\le 19\).
    \[ \sqrt{x+15}=\sqrt{19-x}+\sqrt{2x-16}. \] После квадрата: \[ x+15=x+3+2\sqrt{(19-x)(2x-16)}, \] \[ \sqrt{(19-x)(2x-16)}=6, \] \[ (19-x)(2x-16)=36, \] \[ x^2-27x+170=0 \Rightarrow (x-10)(x-17)=0. \] Оба корня \(x=10,\ 17\) подходят.