Степень с целым показателем. Вариант 1. А1. Вычислите:

Разобрал все задания на листе.

Краткие ответы

• A1: а) \(\frac94=2{,}25\); б) \(-\frac1{27}\); в) \(268\).
• A2: а) \(16384\); б) \(6\); в) \(\frac43\).
• A3: левая часть меньше \(0{,}004\).
• A4: \(\frac{2}{y}\).
• B1: \(5^{10}\).

Как это получается

A1

Используем правило \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).

а) \[ 2^{-3}\cdot\frac{2}{3^{-2}} =\frac{1}{2^3}\cdot 2\cdot 3^2 =\frac18\cdot2\cdot9 =\frac94. \]

б) \[ (-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=-\frac1{27}. \]

в) \[ 3^5+\left(\frac15\right)^{-2} =243+5^2 =243+25 =268. \]

A2

Главный приём — привести все основания к степеням одного числа.

а) \[ \frac{2^{-4}\cdot8^2}{4^{-6}} = \frac{2^{-4}\cdot(2^3)^2}{(2^2)^{-6}} = \frac{2^{-4}\cdot2^6}{2^{-12}} = 2^{-4+6+12} = 2^{14} = 16384. \]

б) Так как \(9=3^2\): \[ 9^{-2}\cdot3^5\cdot2^1 = (3^2)^{-2}\cdot3^5\cdot2 = 3^{-4}\cdot3^5\cdot2 = 3^1\cdot2 = 6. \]

в) \[ \frac{(2\sqrt5)^2}{15} = \frac{4\cdot5}{15} = \frac{20}{15} = \frac43. \]

A3

Сначала перемножим отдельно числа и отдельно степени десяти: \[ (1{,}3\cdot10^{-2})(3\cdot10^{-1}) = (1{,}3\cdot3)\cdot10^{-2-1} = 3{,}9\cdot10^{-3} = 0{,}0039. \]

Сравниваем: \[ 0{,}0039<0{,}004. \]

A4

\[ \left(\frac{4x^{-1}}{y^{-2}}\right)^{-3} = \left(4x^{-1}y^2\right)^{-3} = 4^{-3}x^3y^{-6}. \]

Теперь умножаем: \[ 4^{-3}x^3y^{-6}\cdot128x^{-3}y^5 = \frac{128}{4^3}\,x^{3-3}y^{-6+5} = 2y^{-1} = \frac{2}{y}. \]

При \(x\neq0,\ y\neq0\).

Проверка: при \(x=y=1\) исходное выражение равно \(4^{-3}\cdot128=2\), и \(\frac2y=2\). Всё сходится.

B1

Представим основания через \(5\): \[ 125=5^3,\qquad 25=5^2,\qquad 625=5^4. \]

Тогда \[ \frac{125^{-1}\cdot25^5}{625^0\cdot5^{-3}} = \frac{(5^3)^{-1}\cdot(5^2)^5}{1\cdot5^{-3}} = \frac{5^{-3}\cdot5^{10}}{5^{-3}} = 5^{-3+10+3} = 5^{10}. \]

Главное правило: отрицательный показатель «переворачивает» число, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.