Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]
Как это получить
Способ 1. По теореме Виета (удобно, когда старший коэффициент равен 1):
для уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]
Подбираем два числа: их сумма 5, произведение 6. Это 2 и 3.
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда):
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка
Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.
Корней два, потому что \(D>0\); если бы получилось \(D=0\), корень был бы один, а при \(D<0\) действительных корней нет.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как решать, если корни не целые
Коротко о принципе
Если \(D\) не является полным квадратом, корни получаются «с корнем» — иррациональные. Их не извлекают приближённо, а оставляют в точном виде, максимально упростив: выносят множитель из-под корня и сокращают дробь.
Порядок действий тот же, что и раньше: дискриминант → формула корней. Меняется только последний шаг — упрощение.
Пример 1: \(x^2-3x+1=0\)
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot1=9-4=5 \]
\(5\) — не полный квадрат, значит \(\sqrt{D}=\sqrt5\) не извлекается. Подставляем как есть:
\[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2} \]
Это и есть ответ в точном виде. Приближённо (если попросят): \(\sqrt5\approx2{,}24\), тогда \(x_1\approx0{,}38\), \(x_2\approx2{,}62\).
Проверка по Виете: сумма \(\dfrac{3+\sqrt5}{2}+\dfrac{3-\sqrt5}{2}=3\) — верно; произведение \(\dfrac{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{4}=\dfrac{9-5}{4}=1\) — верно.
Пример 2: \(2x^2+4x-3=0\) (здесь есть что упрощать)
\[ D=4^2-4\cdot2\cdot(-3)=16+24=40 \]
\[ \sqrt{D}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10} \]
Подставляем в формулу:
\[ x_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2\cdot2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4} \]
Теперь сокращаем дробь: в числителе оба слагаемых делятся на 2, поэтому
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2} \]
Проверка: сумма корней \(=-2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{2}\) ✓; произведение \(\dfrac{(-2)^2-10}{4}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac32=\dfrac{c}{a}\) ✓.
Два правила, где чаще всего ошибаются
- Сокращать дробь можно, только если общий множитель есть у всех слагаемых числителя. Запись \(\dfrac{-4+2\sqrt{10}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}\) верна, а «сократить только \(4\) и \(2\sqrt{10}\)» — нельзя.
- Выносить множитель из-под корня нужно до сокращения: именно это часто даёт возможность сократить дробь.
Если нужен другой способ — выделение полного квадрата
Тот же пример \(x^2-3x+1=0\):
\[ x^2-3x+1=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94+1=\left(x-\frac32\right)^2-\frac54=0 \]
\[ \left(x-\frac32\right)^2=\frac54 \;\Rightarrow\; x-\frac32=\pm\frac{\sqrt5}{2} \;\Rightarrow\; x=\frac{3\pm\sqrt5}{2} \]
Результат совпадает — можно пользоваться тем способом, который понятнее.
Хочешь, дам 2–3 уравнения с некруглыми корнями для тренировки — решу вместе с тобой по шагам?
