Даны точки A (-1; 2), B (0; √3), C (1; -2), D (2; -1). Какие из этих точек лежат на линии L, заданной уравнением x²-2x+y²-3=0?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Даны точки \(A(-1; 2)\), \(B(0; \sqrt{3})\), \(C(1; -2)\), \(D(2; -1)\). Какие из этих точек лежат на линии \(L\), заданной уравнением \(x^2-2x+y^2-3=0\)? Решение. Точка лежит на линии, заданной уравнением с двумя переменными \(x\) и \(y\), если ее ___ удовлетворяют этому уравнению, и не лежит на линии, если ее координаты ___ уравнению линии. Подставим ___ данных точек в уравнение \(x^2-2x+\underline{\phantom{000}}\): \((-1)^2-2(-1)+\underline{\phantom{000}}=1+\underline{\phantom{000}}-3=0\). Координаты точки \(A\) не удовлетворяют данному ___, следовательно, ___.
- Какие из следующих уравнений задают окружность: а) \(x^2+(y-1)^2=25\); б) \(4x^2+4y^2=9\); в) \(2x^2+2y^2=0\); г) \(x^2+y^2+1=0\); Решение. а) Уравнение \(x^2+(y-1)^2=25\) имеет вид \((x-a)^2+(\underline{\phantom{000}}-b)^2=r^2\), где \(a=0\), \(b=\underline{\phantom{000}}\), \(r=\underline{\phantom{000}}\ne0\), следовательно, это уравнение ___ окружность. б) Разделив обе части уравнения \(4x^2+\underline{\phantom{000}}=9\) на 4, получим уравнение \(x^2+\underline{\phantom{000}}=\frac{9}{4}\), которое имеет вид \((x-a)^2+(\underline{\phantom{000}}-b)^2=r^2\), где \(a=\underline{\phantom{000}}\), \(b=\underline{\phantom{000}}\), \(r=\underline{\phantom{000}}\ne0\). Следовательно, это уравнение ___ окружность. в) Равенство \(2x^2+\underline{\phantom{000}}=0\) выполняется только при \(x=\underline{\phantom{000}}\), \(y=\underline{\phantom{000}}\), т.е. данному уравнению удовлетворяют координаты только одной ___ \((0;0)\). Следовательно, это уравнение ___ окружность. г) Левая часть уравнения \(x^2+y^2+\underline{\phantom{000}}=0\) при любых значениях \(x\) и \(y\) ___ нуля, а правая часть равна ___. Поэтому точек, ___ которых удовлетворяют данному ___, не существует. Следовательно, уравнение \(x^2+y^2+1=0\) ___ окружность.
- Напишите уравнение окружности радиуса \(r\) с центром в точке \(C\), если: а) \(r=2\) и \(C(3;0)\); б) \(r=3\) и \(C(0;-2)\); в) \(r=\sqrt{5}\) и \(C(-2;3)\). Ответ. а) \((x-3)^2+\underline{\phantom{000}}=4\); б) ___; в) ___.
На фото три задания — разберу все.
Краткие ответы
- На линии \(L\) лежат точки \(B\) и \(C\).
- Окружность задают только уравнения а) и б).
- а) \((x-3)^2+y^2=4\);
б) \(x^2+(y+2)^2=9\);
в) \((x+2)^2+(y-3)^2=5\).
Общий принцип
Окружность с центром \((x_0;y_0)\) и радиусом \(r\) имеет уравнение \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2. \] Правая часть — это \(r^2\), а не \(r\). Если перед координатой центра стоит минус, в уравнении появляется плюс: например, центр \((0;-2)\) даёт \((y+2)^2\).
1. Какие точки лежат на линии \(L\)
Подставляем координаты точки в левую часть уравнения \[ x^2-2x+y^2-3 \] и смотрим, получается ли нуль.
| Точка | Подстановка | Результат |
|---|---|---|
| \(A(-1;2)\) | \(1+2+4-3\) | \(4\ne0\) |
| \(B(0;\sqrt3)\) | \(0+0+3-3\) | \(0\) |
| \(C(1;-2)\) | \(1-2+4-3\) | \(0\) |
| \(D(2;-1)\) | \(4-4+1-3\) | \(-2\ne0\) |
Значит, подходят только \(B\) и \(C\).
Полезно заметить: если выделить полный квадрат, получится \[ (x-1)^2+y^2=4. \] Это окружность с центром \((1;0)\) и радиусом \(2\). Точки \(B\) и \(C\) действительно находятся от неё на расстоянии \(2\).
2. Какие уравнения задают окружность
а)
\[
x^2+(y-1)^2=25=(x-0)^2+(y-1)^2=5^2.
\]
Центр \((0;1)\), радиус \(5\). Это окружность.
б)
\[
4x^2+4y^2=9
\]
делим на \(4\):
\[
x^2+y^2=\frac94=\left(\frac32\right)^2.
\]
Центр \((0;0)\), радиус \(\frac32\). Это окружность.
в)
\[
2x^2+2y^2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=0.
\]
Сумма квадратов равна нулю только при \(x=0\), \(y=0\). Получается одна точка \((0;0)\), а не окружность с положительным радиусом.
г)
\[
x^2+y^2+1=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=-1.
\]
Слева сумма квадратов не может быть отрицательной, поэтому решений нет — окружности нет.
Ответ: а), б).
3. Уравнения окружностей
а) \(C(3;0)\), \(r=2\): \[ (x-3)^2+(y-0)^2=2^2, \] то есть \[ (x-3)^2+y^2=4. \]
б) \(C(0;-2)\), \(r=3\): \[ (x-0)^2+(y-(-2))^2=3^2, \] то есть \[ x^2+(y+2)^2=9. \]
в) \(C(-2;3)\), \(r=\sqrt5\): \[ (x-(-2))^2+(y-3)^2=(\sqrt5)^2, \] то есть \[ (x+2)^2+(y-3)^2=5. \]
Проверка: в каждом ответе справа стоит квадрат радиуса: \(2^2=4\), \(3^2=9\), \((\sqrt5)^2=5\).
