Реши уравнение x² − 7х+7=0
Корни уравнения:
\[ x_{1}=\frac{7-\sqrt{21}}{2},\qquad x_{2}=\frac{7+\sqrt{21}}{2}. \]
Кратко по шагам:
Это квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \[ a=1,\quad b=-7,\quad c=7. \]
Находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot7=49-28=21. \]
Так как \(D>0\), корней два: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{7\pm\sqrt{21}}{2}. \]
Проверка по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=7, \]
что совпадает с коэффициентами уравнения \(x^2-7x+7=0\). Ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияКак изменится решение, если D = 0?
Если \(D=0\), корень остаётся один (говорят: два совпадающих корня), и формула упрощается:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}=- x_{\text{вершины}}. \]
То есть вместо двух разных чисел получаем одно и то же значение — вершина параболы лежит ровно на оси \(Ox\) и касается её.
Пример с тем же \(b=-7\): возьмём \(x^2-7x+12{,}25=0\).
\[ D=49-4\cdot12{,}25=49-49=0,\qquad x=\frac{7}{2}=3{,}5. \]
Проверка: \((x-3{,}5)^2=x^2-7x+12{,}25\) — квадратный трёхчлен свернулся в полный квадрат.
Что ещё меняется:
- Разложение на множители: \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\), а не \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Теорема Виета: \(x_1+x_2=2x_0=-\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2=x_0^2=\frac{c}{a}\) — оба соотношения остаются верными, просто \(x_1=x_2=x_0\).
- График: парабола касается оси \(Ox\) в одной точке, знак трёхчлена не меняется (он всюду одного знака, кроме нуля в самой вершине).
В вашем уравнении \(x^2-7x+7=0\) дискриминант равен \(21\neq0\), поэтому там по-прежнему два разных корня. Случай \(D=0\) — это отдельная ситуация, а не «половина» вашего ответа.
