номер 135

Question

номер 135

Расшифровка фото нейросетью:
135
В трапеции ABCD, изображенной на рисунке, AK = KB, CM = MD, BP = PK, CT = TM, BC = 2 м, AD = 8 м. Найдите PT.
[Рисунок: трапеция ABCD; основания AD (большее) и BC (меньшее); на боковой стороне AB отмечены точки K и P, на боковой стороне CD — точки M и T; проведены отрезки KM и PT, параллельные основаниям]
В трапеции BCMK стороны BC и KM ___, а стороны BK и ___ не параллельны, следовательно, BCMK — ___. По условию задачи BP = ___ = CT = ___, поэтому отрезок PT — средняя ___ трапеции BCMK, и, следовательно, PT = (BC + )/2 = ( + ___)/2 = ___ (м).

Answer

Ответ: $PT = 3{,}5$ м.

Ключевая идея

В задаче дважды применяется одно и то же свойство: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Почему так: если провести диагональ, то средняя линия трапеции «склеена» из двух средних линий треугольников, поэтому её длина равна $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}$.

Шаги

1. Находим $KM$.
$AK = KB$, значит, $K$ — середина боковой стороны $AB$; $CM = MD$, значит, $M$ — середина $CD$. Тогда $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD$:
$$
KM=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+8}{2}=5\ \text{м}.
$$

2. Смотрим на четырёхугольник $BCMK$.
$BC \parallel AD$ и $KM \parallel AD$, поэтому $BC \parallel KM$ — это основания. Стороны $BK$ и $CM$ лежат на боковых сторонах трапеции и не параллельны. Значит, $BCMK$ — тоже трапеция (с основаниями $2$ м и $5$ м).

3. Находим $PT$.
$BP = PK$, то есть $P$ — середина $BK$; $CT = TM$, то есть $T$ — середина $CM$. Тогда $PT$ — средняя линия трапеции $BCMK$:
$$
PT=\frac{BC+KM}{2}=\frac{2+5}{2}=3{,}5\ \text{м}.
$$

Заполнение пропусков в учебнике

стороны $BC$ и $KM$ — параллельны (обе параллельны $AD$);

стороны $BK$ и $CM$ не параллельны;

следовательно, $BCMK$ — трапеция;

$BP =$ $PK$ $= CT =$ $TM$;

$PT$ — средняя линия трапеции $BCMK$;

$PT=\frac{BC+KM}{2}=\frac{2+5}{2}=3{,}5$ (м).

Проверка

Средняя линия всегда длиннее меньшего основания и короче большего: $2 < 3{,}5 < 5$ — сходится. Полезная закономерность: длины $2;\ 3{,}5;\ 5;\ 8$ идут «ступеньками», где каждое промежуточное число — среднее арифметическое соседних: $(2+5):2 = 3{,}5$ и $(2+8):2 = 5$.