Одно из чисел 5/21, 8/21, 11/21 и 13/21 отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

Краткие ответы (задания 12–17)

Как это получается

12. Подстановка в формулу. \(n=4\) кольца: \[ C = 8500 + 6300\cdot 4 = 8500 + 25200 = 33\,700 \] Ответ даём в рублях — 33 700.

13. Неравенство, верное при любом \(x\). Квадрат никогда не бывает отрицательным: \(x^2\ge 0\). Поэтому \[ x^2+16 \ge 16 > 0 \] при любом \(x\) — подходит вариант 2. Остальные имеют ограничения: 1) \(x^2>64\), 3) \(x^2<32\) — не все числа, 4) \(x^2<-48\) — не выполняется никогда. Приём: смотри, можно ли «зажать» квадрат между числами так, чтобы неравенство выполнялось всегда.

14. Арифметическая прогрессия. Три этапа приёма капель:

• рост: \(5, 15, 25, \dots, 75\) — это \(8\) дней, сумма \((5+75)\cdot 8/2 = 320\);
• ровно по 75 капель 5 дней: \(5\cdot 75 = 375\);
• снижение: \(65, 55, \dots, 5\) — 7 дней, сумма \((65+5)\cdot 7/2 = 245\).

Всего: \[ 320+375+245 = 940 \text{ капель} \] В одном пузырьке 200 капель: \(940:200 = 4{,}7\). Пузырьки целые и нужны все капли, поэтому округляем вверх: 5 пузырьков.

15. Тангенс в прямоугольном треугольнике. Угол \(A\) — при вершине \(A\): противолежащий катет \(BC=10\), прилежащий \(AC=4\): \[ \operatorname{tg}A = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{4} = 2{,}5 \]

16. Угол, опирающийся на диаметр. Если центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), то \(AB\) — диаметр, значит вписанный угол \(C=90^\circ\). Тогда \[ \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ \]

17. Диагональ делит среднюю линию. Средняя линия равна \(\frac{7+15}{2}=11\), а диагональ разбивает её на отрезки, каждый из которых — средняя линия треугольника: \[ \frac{BC}{2} = \frac{7}{2}=3{,}5, \qquad \frac{AD}{2} = \frac{15}{2}=7{,}5 \] Больший из них — 7,5.

Если нужно — пришли следующую часть варианта, решу так же по шагам.

Это продолжение той же работы (вариант 6): здесь страница с заданиями 6–11, а 12–17 мы уже разобрали. Решаю по этому листу.

Краткие ответы

Как это получается

6. Дроби с разными знаменателями. Сначала возводим в квадрат, потом приводим к общему знаменателю: \[ \left(\frac{1}{15}\right)^2-\frac{7}{36}=\frac{1}{225}-\frac{7}{36}. \] Общий знаменатель: \(225=9\cdot25\), \(36=9\cdot4\), значит \(900\): \[ \frac{4}{900}-\frac{175}{900}=-\frac{171}{900}=-\frac{19}{100}=-0{,}19 . \]

7. Точка на числовой прямой. Переводим дроби в десятичные (или сравниваем с «круглыми» числами): \[ \frac{11}{29}\approx0{,}38,\quad \frac{14}{29}\approx0{,}48,\quad \frac{16}{29}\approx0{,}55,\quad \frac{19}{29}\approx0{,}66 . \] Точка \(A\) стоит между 0,4 и 0,5 — подходит только \(\frac{14}{29}\), это вариант 2.

8. Квадрат произведения. Квадрат «раздаётся» каждому множителю: \[ (2\sqrt{30})^2=2^2\cdot30=4\cdot30=120, \] \[ \frac{72}{120}=0{,}6 . \]

9. Уравнение. Умножаем обе части на 16, чтобы убрать знаменатели: \[ 16x-18=x \;\Rightarrow\; 15x=18 \;\Rightarrow\; x=1{,}2 . \] Проверка: \(1{,}2-1{,}125=0{,}075\) и \(\frac{1{,}2}{16}=0{,}075\) — сходится.

10. Вероятность. Неисправных 10 из 400, значит исправных \(400-10=390\): \[ P=\frac{390}{400}=0{,}975 . \] Следи, о каком событии спрашивают: «исправен» или «неисправен» — ответы разные.

11. Графики \(y=ax+b\).

• знак \(a\) — наклон: \(a>0\) прямая возрастает, \(a<0\) убывает;
• знак \(b\) — где прямая пересекает ось \(Oy\): \(b>0\) выше нуля, \(b<0\) ниже нуля.

А) \(a>0,\ b<0\) — возрастает, пересекает \(Oy\) ниже нуля → 3; Б) \(a<0,\ b>0\) — убывает, пересекает \(Oy\) выше нуля → 1; В) \(a<0,\ b<0\) — убывает, пересекает \(Oy\) ниже нуля → 2.

В таблицу: А — 3, Б — 1, В — 2.

Это продолжение работы по варианту 6 — страница 41, задания 12–17. Обрати внимание: числа здесь другие, чем в ранее разобранных заданиях 12–17, поэтому ниже — ответы именно для этого листа.

Краткие ответы

Как это получается

12. Подстановка в формулу. \(n=3\) кольца: \[ C = 7800 + 7400\cdot 3 = 7800 + 22200 = 30\,000 \] Ответ даём в рублях — 30 000.

13. Неравенство, верное при любом \(x\). Квадрат неотрицателен: \(x^2\ge 0\). Поэтому \[ x^2+125 \ge 125 > 0 \] при любом \(x\) — подходит вариант 4. Остальные ограничивают \(x\): 1) \(x^2<-100\) — невозможно; 2) \(x^2<81\) — только \(|x|<9\); 3) \(x^2>25\) — только \(|x|>5\).

14. Капли. Считаем три этапа.

• Увеличение дозы: \(10,15,20,\dots,50\) — это 9 дней: \[ \frac{(10+50)\cdot 9}{2}=270 \text{ капель}. \]
• По 50 капель пять дней: \[ 5\cdot 50=250. \]
• Уменьшение: \(45,40,\dots,10\) — 8 дней: \[ \frac{(45+10)\cdot 8}{2}=220. \]

Всего: \[ 270+250+220=740 \text{ капель}. \] В одном пузырьке 200 капель: \[ 740:200=3{,}7. \] Трёх пузырьков не хватит (\(3\cdot200=600<740\)), поэтому нужно 4 пузырька.

15. Тангенс. Для угла \(A\) противолежащий катет — \(BC=5\), прилежащий — \(AC=8\): \[ \operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{8}=0{,}625. \]

16. Угол с опорой на диаметр. Центр описанной окружности лежит на \(AB\), значит \(AB\) — диаметр. Тогда вписанный угол \(C\) прямой: \[ \angle C=90^\circ. \] Сумма углов треугольника: \[ \angle ABC=180^\circ-90^\circ-37^\circ=53^\circ. \]

17. Средняя линия трапеции. Средняя линия равна \[ \frac{13+25}{2}=19. \] Диагональ делит её на отрезки, равные половинам оснований: \[ \frac{13}{2}=6{,}5, \qquad \frac{25}{2}=12{,}5. \] Меньший из них — 6,5.