642 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

№642. Если \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), то \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}, \] или, в записи из учебника, \[ \frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}. \]

Доказательство.

1. Так как \(AD\) — биссектриса, \[ \angle BAD=\angle DAC. \]

2. Опустим из \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BH\) и \(CK\) на прямую \(AD\). Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(ACK\) имеют равные острые углы при вершине \(A\), поэтому они подобны. Значит, \[ \frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}. \]

3. Площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\): \[ S_{ABD}=\frac12 AD\cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac12 AD\cdot CK. \] Поэтому \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}. \]

4. С другой стороны, у треугольников \(ABD\) и \(ACD\) основания \(BD\) и \(DC\) лежат на одной прямой \(BC\), а высота из вершины \(A\) у них общая. Значит, \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}. \]

5. Приравниваем два выражения: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \] Отсюда \[ BD\cdot AC=DC\cdot AB, \] то есть \[ \frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}. \]

Проверка. Если \(AB=AC\), то из формулы следует \(BD=DC\): в равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию является медианой. Это соответствует известному свойству.