Каждое число в некотором числовом наборе увеличили на 5. Как изменилась дисперсия набора?

Ответ: \(\overline{x_B}=-1\), \(S_B=1{,}85\).

Как это получается

Каждое число набора уменьшили на одно и то же число 6, то есть \(y_i=x_i-6\).

1. Среднее сдвигается вместе с набором: каждое слагаемое стало меньше на 6, значит и среднее уменьшилось на 6:

\[ \overline{x_B}=\overline{x_A}-6=5-6=-1 \]

2. Стандартное отклонение (и дисперсия) показывает разброс чисел около среднего, а сдвиг всех чисел на одно и то же значение разброс не меняет:

\[ y_i-\overline{x_B}=(x_i-6)-(\overline{x_A}-6)=x_i-\overline{x_A} \]

Отклонения те же, значит \(D_B=D_A\) и \(S_B=S_A=1{,}85\).

Проверка на примере. Возьмём набор с подходящими характеристиками: \(5-1{,}85;\ 5;\ 5+1{,}85\) — то есть \(3{,}15;\ 5;\ 6{,}85\). Среднее \(5\), отклонения \(-1{,}85;0;1{,}85\), стандартное отклонение \(1{,}85\). Уменьшим на 6: получим \(-2{,}85;-1;0{,}85\). Среднее \(-1\), отклонения от него по-прежнему \(-1{,}85;0;1{,}85\), стандартное отклонение \(1{,}85\). Всё сходится.

Важное правило: при прибавлении (или вычитании) одного и того же числа среднее меняется на это число, а дисперсия и стандартное отклонение не меняются.

Ответ: дисперсия увеличилась — и именно в 16 раз (а стандартное отклонение — в 4 раза).

Почему

Пусть новые числа \(y_i=4x_i\). Тогда среднее тоже умножается на 4:

\[ \overline{y}=4\overline{x} \]

Отклонение каждого числа от среднего:

\[ y_i-\overline{y}=4x_i-4\overline{x}=4(x_i-\overline{x}) \]

При возведении в квадрат четвёрка даёт множитель \(4^2=16\):

\[ D(Y)=\frac{1}{n}\sum (4(x_i-\overline{x}))^2=16\cdot\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x})^2=16D(X) \]

Проверка. Набор \(1;3;5\): среднее 3, дисперсия \(\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\). Умножим на 4: \(4;12;20\), среднее 12, дисперсия \(\frac{64+0+64}{3}=\frac{128}{3}=16\cdot\frac{8}{3}\). Сходится.

Общее правило: при умножении всех чисел на \(k\) дисперсия умножается на \(k^2\), стандартное отклонение — на \(|k|\). Здесь \(k=4\), поэтому дисперсия выросла в 16 раз — вариант «увеличилась» выбран верно.

Ответ: \(15\).

Почему

Стандартное отклонение показывает, насколько числа разбросаны вокруг среднего, и оно всегда неотрицательно. При умножении всех чисел набора на число \(k\):

\[ S_{new}=|k|\cdot S \]

Модуль нужен потому, что отклонения возводятся в квадрат: знак множителя пропадает.

Здесь \(k=-3\), поэтому

\[ S_{new}=|-3|\cdot 5=3\cdot 5=15 \]

Проверка на простом наборе. Возьмём числа \(1;3;5\): среднее 3, стандартное отклонение \(\sqrt{\frac{8}{3}}\). Умножим на \(-3\): получим \(-3;-9;-15\), среднее \(-9\), отклонения \(6;0;-6\) — разброс такой же, как \(2;0;-2\), умноженный на 3. Значит, стандартное отклонение выросло ровно в 3 раза, а минус роли не играет.

В поле ответа впиши 15.

Ответ: \(S_B^2=18{,}8\).

Решение

Прибавление 1000 к каждому числу сдвигает весь набор, но не меняет отклонения чисел от среднего. Поэтому дисперсия набора \(B\) такая же, как у набора \(A\):

\[ S_B^2=S_A^2 \]

Считаем по набору \(A\): \(3;4;8;10;15\).

1. Среднее:

\[ \overline{x}=\frac{3+4+8+10+15}{5}=\frac{40}{5}=8 \]

2. Отклонения от среднего и их квадраты:

\[ 3-8=-5 \Rightarrow 25 \] \[ 4-8=-4 \Rightarrow 16 \] \[ 8-8=0 \Rightarrow 0 \] \[ 10-8=2 \Rightarrow 4 \] \[ 15-8=7 \Rightarrow 49 \]

3. Сумма квадратов отклонений:

\[ 25+16+0+4+49=94 \]

4. Дисперсия — среднее арифметическое этих квадратов:

\[ S_A^2=\frac{94}{5}=18{,}8 \]

Значит,

\[ S_B^2=18{,}8 \]

В поле ответа впиши 18,8 (или 18.8, если точка используется как десятичный разделитель).

Ответ: \(S_B^2=0{,}00508\) (это \(5{,}08\cdot 10^{-3}\)).

Решение

При умножении всех чисел набора на \(k\) дисперсия умножается на \(k^2\):

\[ S_B^2=k^2\cdot S_A^2,\quad k=0{,}01 \]

1. Среднее набора \(A\):

\[ \overline{x}=\frac{5+10+12+17+26}{5}=\frac{70}{5}=14 \]

2. Отклонения от среднего и их квадраты:

\[ 5-14=-9 \Rightarrow 81,\quad 10-14=-4 \Rightarrow 16,\quad 12-14=-2 \Rightarrow 4 \]

\[ 17-14=3 \Rightarrow 9,\quad 26-14=12 \Rightarrow 144 \]

3. Сумма квадратов отклонений:

\[ 81+16+4+9+144=254 \]

4. Дисперсия набора \(A\):

\[ S_A^2=\frac{254}{5}=50{,}8 \]

5. Дисперсия набора \(B\):

\[ S_B^2=50{,}8\cdot(0{,}01)^2=50{,}8\cdot0{,}0001=0{,}00508 \]

Проверка через среднее набора \(B\). Среднее \(B\) равно \(14\cdot0{,}01=0{,}14\), числа набора \(B\): \(0{,}05;\ 0{,}1;\ 0{,}12;\ 0{,}17;\ 0{,}26\). Отклонения: \(-0{,}09;\ -0{,}04;\ -0{,}02;\ 0{,}03;\ 0{,}12\), квадраты: \(0{,}0081;\ 0{,}0016;\ 0{,}0004;\ 0{,}0009;\ 0{,}0144\). Их сумма \(0{,}0254\), делим на 5 — получаем \(0{,}00508\). Всё сходится.

Запомни правило: при умножении на \(k\) дисперсия растёт в \(k^2\) раз, а стандартное отклонение — в \(|k|\) раз. Здесь \(0{,}01^2=0{,}0001\), поэтому дисперсия уменьшилась в 10 000 раз.

В поле ответа впиши 0,00508 (при точке как разделителе — 0.00508).