Реши задание на изображении

Это продолжение текущей учебной цели: на фото та же карточка «Три признака равенства треугольников», что и в прошлом задании. В прошлом ответе были неточности (например, задачи про «скамейки» на этом листе нет), поэтому исправляю и даю разбор именно по заданиям с фото.

1. Признак равенства треугольников

На рисунке отмечены две пары равных сторон и равные углы между ними. Это первый признак равенства треугольников (SAS).

Равные элементы: две стороны и угол между ними.

2. Выбери верный вариант

1. \(AB = DE\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\) — это ASA (второй признак).
2. \(AB = DE\), \(AC = DF\), \(\angle A = \angle D\) — это SAS (первый признак).
3. Для стороны \(MN\) треугольника \(MNP\) прилежащими являются углы \(\angle M\) и \(\angle N\).

3. Порядок шагов для второго признака (ASA)

1. Выделить равные стороны в обоих треугольниках.
2. Найти углы при концах этих сторон.
3. Проверить соответствие вершин.
4. Записать равенство треугольников.
5. Использовать равенство остальных элементов.

4. Найди ошибку в рассуждении

1. Ошибка: сторона \(AB\) не лежит между равными углами \(\angle A\) и \(\angle C\). Для ASA нужна сторона, заключённая между двумя равными углами, например \(AC\) (тогда должно быть \(AC = DF\)).
2. Ошибка: сторона \(AC\) соответствует не \(EF\), а \(DF\). Правильное следствие: \(AC = DF\) (или \(BC = EF\)).
3. Ошибка: \(\angle P\) не прилежит к стороне \(MN\), он лежит против неё. Прилежащие углы — \(\angle M\) и \(\angle N\).

5. Примеры применения второго признака

1. Набор элементов для ASA: сторона и два прилежащих к ней угла. Пример: \(AB = DE\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\).
2. Источник равенства углов: вертикальные углы; накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей; углы при основании равнобедренного треугольника.
3. Следствие из равенства треугольников по ASA: равенство соответствующих сторон и углов. Примеры: \(AC = DF\), \(\angle C = \angle F\).

6. Задачи на применение ASA

1) \(\triangle ABC = \triangle DEF\) по второму признаку (ASA): \(AB = DE\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\).

Три следствия: \[ \angle C = \angle F,\qquad AC = DF,\qquad BC = EF. \]

2) \(\triangle BAC = \triangle DAC\) по стороне \(AC\) и двум прилежащим углам. При этом \(B \leftrightarrow D\), поэтому: \[ CD = BC = 16\ \text{см},\qquad \angle CDA = \angle ABC = 47^\circ. \]

Ответ: \(CD = 16\) см, \(\angle CDA = 47^\circ\).

3) В треугольниках \(POQ\) и \(ROS\): \[ PO = RO,\qquad \angle QPO = \angle SRO,\qquad \angle POQ = \angle ROS \] (последние — вертикальные). Значит, \(\triangle POQ = \triangle ROS\) по ASA.

7. Задачи на применение ASA (высокий уровень)

1) \(\triangle KLM = \triangle RST\) по ASA: \(KL = RS\), \(\angle K = \angle R\), \(\angle L = \angle S\).

Три следствия: \[ \angle M = \angle T,\qquad KM = RT,\qquad LM = ST. \]

2) \(\triangle AMK = \triangle BMK\) по стороне \(MK\) и двум прилежащим углам. При этом \(A \leftrightarrow B\), поэтому: \[ BK = AK = 9\ \text{см},\qquad \angle MBK = \angle MAK = 64^\circ. \]

Ответ: \(BK = 9\) см, \(\angle MBK = 64^\circ\).

3) В треугольниках \(AOB\) и \(COD\): \[ AO = CO,\qquad \angle OAB = \angle OCD,\qquad \angle AOB = \angle COD \] (последние — вертикальные). Следовательно, \(\triangle AOB = \triangle COD\) по второму признаку (ASA).

Если нужно подробнее расписать доказательство какой-то конкретной задачи, напиши её номер.

Это продолжение той же темы — та же серия листов «Три признака равенства треугольников», теперь сравнение SAS и ASA. Даю решения заданий 8–10.

Задание 8. Таблица сравнения

Как запомнить: в SAS угол «зажат» между сторонами, в ASA сторона «зажата» между углами.

Задание 9. Ответы на вопросы

1) Для стороны \(MN\) треугольника \(MNP\):

• прилежащие углы: \(\angle M\) и \(\angle N\);
• противолежащий угол: \(\angle P\).

2) Одним предложением:

В первом признаке (SAS) равный угол заключён между двумя равными сторонами, а во втором (ASA) — равная сторона заключена между двумя равными углами.

3) Доказательство совпадения точек \(C\) и \(D\).

Рассмотрим \(\triangle CAB\) и \(\triangle DAB\):

1. \(AB\) — общая сторона;
2. \(\angle CAB = \angle DAB\) — прилежит к \(AB\);
3. \(\angle CBA = \angle DBA\) — прилежит к \(AB\).

Значит, \(\triangle CAB = \triangle DAB\) по второму признаку (ASA).

Из равенства треугольников следует \(AC = AD\) и \(\angle CAB = \angle DAB\).

Оба угла отложены от луча \(AB\) в одну и ту же полуплоскость. А угол данной величины от данного луча в данной полуплоскости откладывается единственным образом, поэтому лучи \(AC\) и \(AD\) совпадают. На одном луче с началом \(A\) на расстоянии \(AC = AD\) лежит ровно одна точка. Следовательно, \(C = D\). Что и требовалось доказать.

4) Диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\) пополам, значит: \[ \angle BAC = \angle DAC,\qquad \angle BCA = \angle DCA. \] В треугольниках \(BAC\) и \(DAC\) сторона \(AC\) — общая, и к ней прилежат равные углы. Значит, применим второй признак (ASA), потому что равная сторона заключена между двумя равными углами.

Задание 10. Ключевые слова

1. Углы, расположенные при концах данной стороны треугольника, называются прилежащими к ней.
2. Угол, расположенный напротив данной стороны, называется противолежащим.
3. Сторона, которая принадлежит каждому из двух рассматриваемых треугольников, называется общей.
4. Аббревиатура из трёх латинских букв, обозначающая признак равенства по стороне и двум углам при её концах, — это ASA.
5. Чтобы доказать равенство треугольников по второму признаку, мы совмещаем равные стороны и используем метод наложения.

Если нужно, могу показать на чертеже, почему в задании 9(3) точки не могут быть различными — напиши.

Это продолжение текущей учебной цели — та же тема «Три признака равенства треугольников». На скриншоте домашнее задание: придумать и оформить свою задачу на второй признак (ASA) — с общей стороной или вертикальными углами, с решением; по желанию — с «ловушкой» про противолежащий угол.

Ниже готовый вариант, который можно переписать в тетрадь.

Вариант 1. Задача с общей стороной

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC\) является биссектрисой углов \(A\) и \(C\). Докажите, что \(AB = AD\) и \(BC = CD\).

Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\), проведена диагональ \(AC\); равные углы отмечены дужками.

Дано: \[ \angle BAC = \angle DAC,\qquad \angle BCA = \angle DCA. \]

Доказать: \[ AB = AD,\qquad BC = CD. \]

Доказательство.

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\):

1. \(AC\) — общая сторона;
2. \(\angle BAC = \angle DAC\) — по условию (\(AC\) — биссектриса \(\angle A\));
3. \(\angle BCA = \angle DCA\) — по условию (\(AC\) — биссектриса \(\angle C\)).

Углы из пунктов 2 и 3 прилежат к стороне \(AC\). Значит, треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам): \[ \triangle ABC = \triangle ADC. \]

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против \(\angle BCA\) лежит \(AB\), против \(\angle DCA\) лежит \(AD\), поэтому \(AB = AD\). Аналогично против \(\angle BAC\) лежит \(BC\), против \(\angle DAC\) лежит \(CD\), поэтому \(BC = CD\).

Вывод: \(AB = AD\), \(BC = CD\), что и требовалось доказать.

Вариант 2. Задача с вертикальными углами

Задача. Отрезки \(MN\) и \(PQ\) пересекаются в точке \(O\), причём \(MO = PO\) и \(\angle OMN = \angle OPQ\). Докажите, что \(MN = PQ\).

Доказательство.

В \(\triangle MON\) и \(\triangle POQ\):

1. \(MO = PO\) — по условию;
2. \(\angle OMN = \angle OPQ\) — по условию;
3. \(\angle MON = \angle POQ\) — как вертикальные углы.

Сторона \(MO\) заключена между углами \(\angle OMN\) и \(\angle MON\), а сторона \(PO\) — между равными им углами \(\angle OPQ\) и \(\angle POQ\). По второму признаку \(\triangle MON = \triangle POQ\), откуда \(MN = PQ\).

Ловушка (по желанию)

Задача-ловушка. В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) известно: \(AB = DE\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle C = \angle F\). Можно ли сразу применить второй признак?

Ответ: сразу — нельзя. В \(\triangle ABC\) сторона \(AB\) прилежит к углам \(\angle A\) и \(\angle B\), а \(\angle C\) противолежит ей. Второй признак требует, чтобы оба равных угла прилежали к равной стороне.

Как исправить: по теореме о сумме углов треугольника \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - \angle D - \angle F = \angle E. \] Теперь к стороне \(AB\) прилежат равные углы \(\angle A\) и \(\angle B\), а к стороне \(DE\) — равные им \(\angle D\) и \(\angle E\). Только после этого применяем ASA: \(\triangle ABC = \triangle DEF\).

Рабочий лист, как сказано в задании, выдан в классе — отдельно решать его здесь не нужно. Если хочешь, могу придумать ещё один вариант задачи, например с медианой или с равнобедренным треугольником.