Зделай только 217

Краткий ответ

а) \(y\in\{-\sqrt{6};\,0;\,\sqrt{6}\}\)
б) \(x=0\)
в) \(x\in\{0;\,1{,}5;\,2\}\)
г) \(x\in\{-0{,}2;\,0;\,0{,}5\}\)
д) \(x\in\left\{-\frac{1}{3};\,\frac{1}{3};\,2\right\}\)
е) \(y\in\{-4;\,0;\,1;\,4\}\)
ж) \(p\in\{-1;\,1\}\), причём \(1\) — двукратный корень
з) \(x\in\{-1;\,0;\,1;\,3\}\)

Главный принцип

Многочленное уравнение решают так:

1. Переносят всё в одну сторону, чтобы справа был \(0\).
2. Раскладывают левую часть на множители.
3. Используют правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Нельзя просто делить уравнение на \(x\) или \(y\): это переменная, и она может быть равна нулю. Иначе можно потерять корень.

Решения

а)
\[ y^{3}-6y=y(y^{2}-6)=0. \] Отсюда \(y=0\) или \(y^{2}=6\), то есть \(y=\pm\sqrt{6}\).

б)
\[ 6x^{4}+3{,}6x^{2}=x^{2}(6x^{2}+3{,}6)=0. \] Для действительных \(x\) выражение \(6x^{2}+3{,}6>0\), поэтому остаётся только: \[ x^{2}=0,\qquad x=0. \]

в)
\[ x^{3}+3x-3{,}5x^{2}=x(x^{2}-3{,}5x+3)=0. \] Один корень \(x=0\). Для квадратного выражения: \[ D=(-3{,}5)^{2}-4\cdot 3=0{,}25, \] \[ x=\frac{3{,}5\pm 0{,}5}{2}. \] Получаем \(x=1{,}5\) и \(x=2\).

г)
\[ x^{3}-0{,}1x-0{,}3x^{2}=x(x^{2}-0{,}3x-0{,}1)=0. \] Отсюда \(x=0\), а для квадратного выражения: \[ D=0{,}09+0{,}4=0{,}49, \] \[ x=\frac{0{,}3\pm 0{,}7}{2}. \] Значит, \(x=0{,}5\) и \(x=-0{,}2\).

д)
\[ 9x^{3}-18x^{2}-x+2=0. \] Группируем: \[ 9x^{2}(x-2)-(x-2)=0, \] \[ (x-2)(9x^{2}-1)=0, \] \[ (x-2)(3x-1)(3x+1)=0. \] Корни: \(2\), \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{3}\).

е)
\[ y^{4}-y^{3}-16y^{2}+16y=0, \] \[ y\bigl(y^{3}-y^{2}-16y+16\bigr)=0, \] \[ y\bigl(y^{2}(y-1)-16(y-1)\bigr)=0, \] \[ y(y-1)(y^{2}-16)=0, \] \[ y(y-1)(y-4)(y+4)=0. \] Корни: \(-4\), \(0\), \(1\), \(4\).

ж)
\[ p^{3}-p^{2}=p-1, \] \[ p^{3}-p^{2}-p+1=0, \] \[ p^{2}(p-1)-(p-1)=0, \] \[ (p-1)(p^{2}-1)=0, \] \[ (p-1)^{2}(p+1)=0. \] Корни: \(p=1\) и \(p=-1\).

з)
\[ x^{4}-x^{2}=3x^{3}-3x, \] \[ x^{4}-3x^{3}-x^{2}+3x=0, \] \[ x(x^{3}-3x^{2}-x+3)=0, \] \[ x\bigl(x^{2}(x-3)-(x-3)\bigr)=0, \] \[ x(x-3)(x^{2}-1)=0, \] \[ x(x-3)(x-1)(x+1)=0. \] Корни: \(-1\), \(0\), \(1\), \(3\).

Проверка: все корни получаются из разложения на множители, поэтому при подстановке каждый из них обращает левую часть в нуль. Например, в пункте д при \(x=2\): \[ 9\cdot 8-18\cdot 4-2+2=72-72=0. \]