решить методом гаусса
Сверь числа и знаки с фото.
\[ \begin{cases} x + 3y - z = -2\\ 2x + 2y - z = 1\\ 2x + 3y + 3z = 4 \end{cases}. \]
Краткий ответ:
\[
x=2,\qquad y=-1,\qquad z=1.
\]
То есть решение системы: \((2;-1;1)\).
Ход решения методом Гаусса
Выпишем расширенную матрицу системы: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 2 & 3 & 3 & 4 \end{array}\right). \]
Убираем \(x\) из второй и третьей строк: \[ R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-2R_1. \]
Получаем: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 0 & -4 & 1 & 5\\ 0 & -3 & 5 & 8 \end{array}\right). \]
Теперь убираем \(y\) из третьей строки. Чтобы не работать с дробями, заменим третью строку на \(4R_3-3R_2\): \[ R_3\leftarrow 4R_3-3R_2. \]
Получаем ступенчатый вид: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 0 & -4 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 17 & 17 \end{array}\right). \]
Из последней строки: \[ 17z=17 \quad\Rightarrow\quad z=1. \]
Подставляем во вторую строку: \[ -4y+z=5, \] \[ -4y+1=5, \] \[ -4y=4, \] \[ y=-1. \]
Подставляем \(y=-1\), \(z=1\) в первое уравнение: \[ x+3(-1)-1=-2, \] \[ x-4=-2, \] \[ x=2. \]
Проверка: \[ 2+3(-1)-1=-2, \] \[ 2\cdot 2+2(-1)-1=1, \] \[ 2\cdot 2+3(-1)+3\cdot 1=4. \]
Все уравнения выполняются.
Принцип метода: с помощью допустимых преобразований строк матрицу приводят к ступенчатому виду, затем из последнего уравнения находят последнюю переменную и подставляют её в предыдущие уравнения.
Обсуждение
3 сообщенияПодробное решение
Подробное решение системы методом Гаусса
Исходная система: \[ \begin{cases} x+3y-z=-2,\\ 2x+2y-z=1,\\ 2x+3y+3z=4. \end{cases} \]
1. Расширенная матрица
Выписываем коэффициенты при переменных и свободные члены: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 2 & 3 & 3 & 4 \end{array}\right). \]
Цель прямого хода — получить ступенчатый вид: нули под главной диагональю.
2. Убираем \(x\) из второй и третьей строк
Ведущий элемент в первой строке равен \(1\), поэтому вычитаем первую строку, умноженную на нужные числа.
Вторая строка: \(R_2 \leftarrow R_2-2R_1\) \[ 2-2\cdot1=0, \] \[ 2-2\cdot3=-4, \] \[ -1-2\cdot(-1)=1, \] \[ 1-2\cdot(-2)=5. \] Получаем строку \((0;\ -4;\ 1\mid 5)\).
Третья строка: \(R_3 \leftarrow R_3-2R_1\) \[ 2-2\cdot1=0, \] \[ 3-2\cdot3=-3, \] \[ 3-2\cdot(-1)=5, \] \[ 4-2\cdot(-2)=8. \] Получаем строку \((0;\ -3;\ 5\mid 8)\).
Матрица принимает вид: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 0 & -4 & 1 & 5\\ 0 & -3 & 5 & 8 \end{array}\right). \]
3. Убираем \(y\) из третьей строки
Теперь ведущий элемент во второй строке равен \(-4\). Чтобы не вводить дроби, умножим третью строку на \(4\), а вторую — на \(3\), и вычтем: \[ R_3 \leftarrow 4R_3-3R_2. \]
Считаем по столбцам: \[ 4\cdot0-3\cdot0=0, \] \[ 4\cdot(-3)-3\cdot(-4)=-12+12=0, \] \[ 4\cdot5-3\cdot1=20-3=17, \] \[ 4\cdot8-3\cdot5=32-15=17. \]
Получаем ступенчатую матрицу: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -2\\ 0 & -4 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 17 & 17 \end{array}\right). \]
Такое преобразование допустимо: умножение строки на ненулевое число и прибавление к ней другой строки не меняют множество решений системы.
4. Обратный ход
Из третьей строки: \[ 17z=17 \quad\Rightarrow\quad z=1. \]
Из второй строки: \[ -4y+z=5. \] Подставляем \(z=1\): \[ -4y+1=5, \] \[ -4y=4, \] \[ y=-1. \]
Из первой строки: \[ x+3y-z=-2. \] Подставляем \(y=-1\), \(z=1\): \[ x+3\cdot(-1)-1=-2, \] \[ x-3-1=-2, \] \[ x-4=-2, \] \[ x=2. \]
5. Проверка
Первое уравнение: \[ 2+3\cdot(-1)-1=2-3-1=-2. \]
Второе уравнение: \[ 2\cdot2+2\cdot(-1)-1=4-2-1=1. \]
Третье уравнение: \[ 2\cdot2+3\cdot(-1)+3\cdot1=4-3+3=4. \]
Все три равенства верны.
Ответ
\[ \boxed{x=2,\quad y=-1,\quad z=1} \] или в виде точки: \[ \boxed{(2;\ -1;\ 1)}. \]
Суть метода: прямым ходом приводим матрицу к ступенчатому виду, а затем обратным ходом последовательно находим переменные — начиная с последней и подставляя её в уравнения выше.
Вычислить пределы функции
