Контрольная работа (30 мин). 8 класс. Вариант 1 1. Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон на 3 см больше другой.

Ниже — решения всех пяти задач варианта.

Краткие ответы

1. Площадь прямоугольника: \(70\) см².
2. Площадь параллелограмма: \(48\) см².
3. Площадь треугольника: \(24\) см²; высота к гипотенузе: \(4{,}8\) см.
4. Площадь ромба: \(120\) см²; периметр: \(52\) см.
5. Площадь трапеции: \(80\) см².

Как это получается

1. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда большая — \(x+3\) см.
   \[ 2(x+x+3)=34 \] Отсюда \(x=7\), стороны равны \(7\) и \(10\) см.
   \[ S=7\cdot10=70\text{ см}^2 \] Проверка: \(2(7+10)=34\).

2. Площадь параллелограмма: \[ S=ab\sin\alpha \] \[ S=8\cdot12\cdot\sin30^\circ =8\cdot12\cdot\frac12=48\text{ см}^2 \]

3. Площадь прямоугольного треугольника по катетам: \[ S=\frac12\cdot6\cdot8=24\text{ см}^2 \] Гипотенуза: \[ c=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см} \] Высота \(h\), проведённая к гипотенузе, находится из формулы площади: \[ S=\frac12 ch \] \[ h=\frac{2S}{c}=\frac{48}{10}=4{,}8\text{ см} \]

4. Площадь ромба через диагонали: \[ S=\frac12 d_1d_2=\frac12\cdot10\cdot24=120\text{ см}^2 \] Диагонали ромба делятся пополам, поэтому половины равны \(5\) и \(12\) см. Сторона: \[ a=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ см} \] \[ P=4a=4\cdot13=52\text{ см} \]

5. Разность оснований: \[ 14-6=8\text{ см} \] Высота отсекает прямоугольный треугольник с острым углом \(45^\circ\), поэтому его катеты равны, и высота тоже \(8\) см.
   \[ S=\frac{6+14}{2}\cdot8=10\cdot8=80\text{ см}^2 \]