Контрольная работа (30 мин). 8 класс. Вариант 1 1. Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон на 3 см больше другой.

Оформляю каждый пункт по схеме «Дано — Найти — Решение».

1. Прямоугольник

Дано: \(P=34\) см; одна сторона на \(3\) см больше другой.
Найти: \(S\).

Решение:
Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+3\).

\[ 2(x+x+3)=34 \] \[ 2x+3=17 \] \[ x=7 \]

Стороны: \(7\) см и \(10\) см.

\[ S=7\cdot10=70 \]

Ответ: \(S=70\) см².

---

2. Параллелограмм

Дано: стороны \(a=8\) см, \(b=12\) см; угол между ними \(\alpha=30^\circ\).
Найти: \(S\).

Решение:
Площадь параллелограмма:

\[ S=ab\sin\alpha \]

\[ S=8\cdot12\cdot\sin30^\circ \]

\[ S=8\cdot12\cdot\frac12=48 \]

Ответ: \(S=48\) см².

---

3. Прямоугольный треугольник

Дано: катеты \(a=6\) см, \(b=8\) см.
Найти: площадь \(S\) и высоту \(h\), проведённую к гипотенузе.

Решение:
Площадь:

\[ S=\frac12ab=\frac12\cdot6\cdot8=24 \]

Гипотенуза:

\[ c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10 \]

Высота к гипотенузе:

\[ h=\frac{2S}{c} \]

\[ h=\frac{2\cdot24}{10}=4{,}8 \]

Ответ: \(S=24\) см²; \(h=4{,}8\) см.

---

4. Ромб

Дано: диагонали \(d_1=10\) см, \(d_2=24\) см.
Найти: площадь \(S\) и периметр \(P\).

Решение:
Площадь ромба:

\[ S=\frac12d_1d_2 \]

\[ S=\frac12\cdot10\cdot24=120 \]

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Поэтому сторона:

\[ a=\sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2+\left(\frac{24}{2}\right)^2} \]

\[ a=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]

Периметр:

\[ P=4a=4\cdot13=52 \]

Ответ: \(S=120\) см²; \(P=52\) см.

---

5. Прямоугольная трапеция

Дано: основания \(a=6\) см, \(b=14\) см; острый угол \(45^\circ\).
Найти: \(S\).

Решение:
Разность оснований:

\[ 14-6=8\text{ см} \]

Проведём высоту. Получился прямоугольный треугольник с катетом \(8\) см и острым углом \(45^\circ\). Значит, второй катет — высота трапеции — тоже равен \(8\) см:

\[ h=8 \]

Площадь трапеции:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]

\[ S=\frac{6+14}{2}\cdot8=10\cdot8=80 \]

Ответ: \(S=80\) см².