как решать

Краткий ответ

\[ 2^{5x-7}=0{,}25 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]

Как решать: главная идея

Показательное уравнение решают, приводя обе части к одному и тому же основанию. Если основания равны (и не равны 1), то равны и показатели:

\[ a^{f(x)}=a^{g(x)} \ \Rightarrow\ f(x)=g(x) \]

Шаги

1. Переводим число справа в степень двойки.

\[ 0{,}25=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}=2^{-2} \]

2. Переписываем уравнение с одинаковым основанием.

\[ 2^{5x-7}=2^{-2} \]

3. Приравниваем показатели (основание \(2>1\), поэтому каждому значению степени отвечает ровно один показатель):

\[ 5x-7=-2 \]

4. Решаем линейное уравнение.

\[ 5x=7-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]

Проверка

\[ 2^{5\cdot 1-7}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0{,}25 \]

Сходится, значит \(x=1\) — верный корень.

Чтобы решить похожее

• Смотри, какое число стоит справа: \(0{,}5=2^{-1}\), \(0{,}125=2^{-3}\), \(8=2^{3}\), \(1=2^{0}\), \(\frac{1}{9}=3^{-2}\).
• Если основания разные (\(4\) и \(8\) — это \(2^{2}\) и \(2^{3}\)), своди оба к наименьшему общему основанию.
• После приравнивания показателей уравнение обычно становится простым линейным — остаётся аккуратно перенести числа.