Внесите множитель под знак корня: −5y√(3y³); Упростите выражение: (√3/(√3+√x)+√x/(√3−√x)−2√(3x)/(x−3))·(√x−√3)

На фото два задания — разберу оба.

Кратко

1. \(\displaystyle -5y\sqrt{3y^3}=-\sqrt{75y^5}\), где \(y\ge0\).
2. Выражение равно \(\displaystyle -\sqrt3-\sqrt x\), где \(x\ge0,\ x\ne3\).

1. Внесение множителя под знак корня

Корень \(\sqrt{3y^3}\) существует при \(y\ge0\). Значит, множитель \(-5y\) неположительный, поэтому минус должен остаться перед корнем:

\[ -5y\sqrt{3y^3} =-\sqrt{(5y)^2\cdot 3y^3} =-\sqrt{25y^2\cdot 3y^3} =-\sqrt{75y^5}. \]

Если записать без минуса, получится положительное число, а исходное выражение при \(y>0\) отрицательно.

Проверка при \(y=1\): \(-5\sqrt3=-\sqrt{75}\).

2. Упрощение выражения

Область допустимых значений: \(x\ge0,\ x\ne3\).

Обозначим \[ a=\sqrt3,\qquad b=\sqrt x. \] Тогда \(x=b^2\), а \[ x-3=b^2-a^2=-(a-b)(a+b). \] Поэтому \[ -\frac{2\sqrt{3x}}{x-3} =-\frac{2ab}{b^2-a^2} =+\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Теперь выражение в скобках: \[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}+\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{a(a-b)+b(a+b)+2ab}{(a+b)(a-b)}. \] В числителе: \[ a^2-ab+ab+b^2+2ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. \] Значит, скобка равна \[ \frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}. \] Остаётся умножить на \(\sqrt x-\sqrt3=b-a=-(a-b)\): \[ \frac{a+b}{a-b}\cdot(b-a)=-(a+b). \] Возвращаем \(a=\sqrt3,\ b=\sqrt x\): \[ -(a+b)=-\sqrt3-\sqrt x. \]

Проверка при \(x=4\): получается \(-2-\sqrt3\), как и по исходному выражению.