Контрольная работа по теме «Функции и их свойства» (9 класс) ВАРИАНТ 1 Задание 1. Найдите область определения функций:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа по теме «Функции и их свойства» (9 класс) ВАРИАНТ 1 Задание 1. Найдите область определения функций: а) \(f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-3x}\) б) \(g(x)=\sqrt{12-4x}\) в) \(h(x)=\frac{x^{2}-16}{x^{2}+9}\)
Задание 2. Дана функция \(y=-x^{2}+4x-3\) А) Постройте график функции Б) опишите её свойства В) Найдите по графику значение функции при \(x=1,5;\) \(x=-0,5\). Найдите значение аргумента при \(y=-4\)
Задание 3. Пользуясь графиком \(y=f(x)\) на отрезке \([-3;4]\), запишите свойства функции:
- Область определения \(D(y)\) и множество значений \(E(y)\).
- Нули функции.
- Промежутки знакопостоянства (где \(y>0\) и \(y<0\)).
- Промежутки возрастания и убывания.
- Наибольшее и наименьшее значения функции. [Рисунок: график функции на клетчатой координатной плоскости; по оси x видны подписи от -3 до 3, по оси y — 1, 2, 3; кривая имеет локальный максимум около x=-1, y=3 и локальный минимум около x=2, y=-1, пересекает ось x около x=-2, x=1 и x=3] Задание 4. Решите уравнение графическим способом: \(\frac{4}{x}=\sqrt{x+2}\).
На листе — 4 задания варианта 1. Решаю все.
1. Области определения
\[ D_f=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty),\qquad D_g=(-\infty;3],\qquad D_h=\mathbb R. \]
Почему:
а) \(f(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-3x}\). Знаменатель не равен нулю: \[ x^2-3x\ne0 \Rightarrow x(x-3)\ne0 \Rightarrow x\ne0,\ x\ne3. \]
б) \(g(x)=\sqrt{12-4x}\). Подкоренное выражение неотрицательно: \[ 12-4x\ge0 \Rightarrow x\le3. \]
в) \(h(x)=\dfrac{x^2-16}{x^2+9}\). Знаменатель \(x^2+9>0\) при любом \(x\), поэтому ограничений нет.
2. Функция \(y=-x^2+4x-3\)
\[ y=-(x^2-4x+4)+1=-(x-2)^2+1. \]
Это парабола ветвями вниз, вершина \((2;1)\), ось симметрии \(x=2\).
Для построения можно взять точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&-3&0&1&0&-3 \end{array} \]
Свойства:
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;1]\).
- Нули: \(x=1\) и \(x=3\).
- \(y>0\) при \(x\in(1;3)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
- Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\).
- Наибольшее значение: \(y_{\max}=1\) при \(x=2\). Наименьшего нет.
- Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Значения:
\[ y(1{,}5)=-(1{,}5)^2+4\cdot1{,}5-3=0{,}75, \] \[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+4\cdot(-0{,}5)-3=-5{,}25. \]
Если \(y=-4\):
\[ -x^2+4x-3=-4, \] \[ x^2-4x-1=0, \] \[ x=2\pm\sqrt5. \]
То есть \(x\approx -0{,}24\) или \(x\approx 4{,}24\).
3. Свойства функции по графику
По графику на отрезке \([-3;4]\):
\[ D(y)=[-3;4],\qquad E(y)=[-1;3]. \]
Нули функции:
\[ x=-2,\quad x=1,\quad x=3. \]Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(-2;1)\cup(3;4], \] \[ y<0 \text{ при } x\in[-3;-2)\cup(1;3). \]
Промежутки возрастания и убывания: \[ \text{возрастает на } [-3;-1] \text{ и } [2;4], \] \[ \text{убывает на } [-1;2]. \]
Наибольшее и наименьшее значения: \[ y_{\max}=3,\qquad y_{\min}=-1. \]
4. Графическое решение уравнения
\[ \frac{4}{x}=\sqrt{x+2}. \]
Строим два графика:
- \(y=\dfrac{4}{x}\) — гипербола; например, точки \((1;4)\), \((2;2)\), \((4;1)\).
- \(y=\sqrt{x+2}\) — ветвь параболы; точки \((-2;0)\), \((-1;1)\), \((2;2)\).
Графики пересекаются в точке \((2;2)\), значит:
\[ x=2. \]
Проверка: \[ \frac{4}{2}=2,\qquad \sqrt{2+2}=2. \]
Ответ: \(x=2\).
