Реши примеры по математике, распиши подробно решение
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 3
- \(4\log_2 16 - 7\log_5 1\)
- \(\log_2 32 +\) \(5\log_4 0{,}0625\) (подсказка: \(0{,}0625 = \frac{1}{16}\))
- \(7\ln e^4 - 2\log_5 \frac{1}{125}\)
- \(\log_{0{,}25}256 + \ln e^5\)
- \(4\log_3 \frac{1}{81} - 2\log_4 64\)
- \(\lg 10^5 - 3\ln e^4\)
- \(\log_{\sqrt3}27 +\) \(3\log_5 0{,}008\) (подсказка: \(0{,}008 = \frac{1}{125}\))
- \(5\log_{49}\log_2 128\)
- \(\log_{3\sqrt3}81 +\) \(\log_2 0{,}03125\) (подсказка: \(0{,}03125 = \frac{1}{32}\))
- \(\log_{16}64 + 4\log_3 \frac{1}{27}\)
Краткие ответы
- \(16\)
- \(-5\)
- \(34\)
- \(1\)
- \(-22\)
- \(-7\)
- \(-3\)
- \(\frac{5}{2}\)
- \(-\frac{7}{3}\)
- \(-\frac{21}{2}\)
Главное правило
\(\log_a b\) — это степень, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). Поэтому:
\[ \log_a a^k=k,\qquad \log_a 1=0,\qquad \log_{a^n}a^m=\frac{m}{n}. \]
Также \(\ln e^k=k\), \(\lg 10^k=k\), а дробь \(\frac{1}{a^k}=a^{-k}\).
Как действовать в похожем примере
- Представь основание и число под логарифмом степенями одного числа.
- Примени формулу \(\log_{a^n}a^m=\frac{m}{n}\).
- Умножь на коэффициент перед логарифмом.
- Сложи или вычти результаты.
Подробные решения
1.
\[ \log_2 16=4,\qquad \log_5 1=0, \]
\[ 4\log_2 16-7\log_5 1=4\cdot4-7\cdot0=16. \]
2.
\[ \log_2 32=5,\qquad 0{,}0625=\frac{1}{16}=4^{-2}, \]
\[ \log_4 0{,}0625=-2, \]
\[ 5+5\cdot(-2)=5-10=-5. \]
3.
\[ \ln e^4=4,\qquad \frac{1}{125}=5^{-3},\qquad \log_5\frac{1}{125}=-3, \]
\[ 7\cdot4-2\cdot(-3)=28+6=34. \]
4.
\[ 0{,}25=\frac14=4^{-1},\qquad 256=4^4, \]
\[ \log_{0{,}25}256=\log_{4^{-1}}4^4=-4, \]
\[ -4+\ln e^5=-4+5=1. \]
5.
\[ \frac{1}{81}=3^{-4},\qquad \log_4 64=3, \]
\[ 4\cdot(-4)-2\cdot3=-16-6=-22. \]
6.
\[ \lg 10^5=5,\qquad \ln e^4=4, \]
\[ 5-3\cdot4=5-12=-7. \]
7.
\[ \sqrt3=3^{1/2},\qquad 27=3^3, \]
\[ \log_{\sqrt3}27=\frac{3}{1/2}=6, \]
\[ 0{,}008=\frac{1}{125}=5^{-3},\qquad 3\log_5 0{,}008=3\cdot(-3)=-9, \]
\[ 6-9=-3. \]
8.
Сначала вычисляется внутренний логарифм:
\[ \log_2 128=7, \]
затем внешний:
\[ \log_{49}7=\log_{7^2}7=\frac12. \]
Значит,
\[ 5\log_{49}\log_2 128=5\cdot\frac12=\frac52. \]
9.
\[ 3\sqrt3=3^{3/2},\qquad 81=3^4, \]
\[ \log_{3\sqrt3}81=\frac{4}{3/2}=\frac83, \]
\[ 0{,}03125=\frac{1}{32}=2^{-5},\qquad \log_2 0{,}03125=-5, \]
\[ \frac83-5=\frac83-\frac{15}{3}=-\frac73. \]
10.
\[ 16=2^4,\qquad 64=2^6, \]
\[ \log_{16}64=\frac64=\frac32, \]
\[ \frac{1}{27}=3^{-3},\qquad 4\log_3\frac{1}{27}=4\cdot(-3)=-12, \]
\[ \frac32-12=\frac32-\frac{24}{2}=-\frac{21}{2}. \]
Проверка
Логарифм можно проверить возведением основания в полученную степень. Например, в №10:
\[ 16^{3/2}=(\sqrt{16})^3=4^3=64, \]
значит \(\log_{16}64=\frac32\) найден верно. А в №8:
\[ 49^{1/2}=7, \]
поэтому \(\log_{49}7=\frac12\). Если при возведении получается число под логарифмом, ответ правильный.
Обсуждение
2 сообщенияРеши примеры по математике, распиши решение
На фото — вариант 3. Кратко:
1) \(16\); 2) \(-5\); 3) \(34\); 4) \(1\); 5) \(-22\); 6) \(-7\); 7) \(-3\); 8) \(\frac52\); 9) \(-\frac73\); 10) \(-\frac{21}{2}\).
Понадобятся свойства:
\[ \log_{a^n} a^m=\frac{m}{n},\qquad \log_a a^k=k,\qquad \log_a 1=0. \]
Также \(\ln e^k=k\), \(\lg 10^k=k\).
1.
\[
4\log_2 16-7\log_5 1
=4\log_2 2^4-7\cdot 0
=4\cdot 4=16.
\]
2.
Дано \(0{,}0625=\frac1{16}=4^{-2}\), а \(32=2^5\).
\[ \log_2 32+5\log_4 0{,}0625 =5+5\log_4 4^{-2} =5+5\cdot(-2) =-5. \]
3.
\[
7\ln e^4-2\log_5\frac1{125}
=7\cdot4-2\log_5 5^{-3}
=28-2\cdot(-3)
=34.
\]
4.
\[
0{,}25=\frac14=4^{-1},\qquad 256=4^4.
\]
\[ \log_{0{,}25}256=\log_{4^{-1}}4^4=\frac4{-1}=-4. \]
\[ -4+\ln e^5=-4+5=1. \]
5.
\[
4\log_3\frac1{81}-2\log_4 64
=4\log_3 3^{-4}-2\log_4 4^3
\]
\[ =4\cdot(-4)-2\cdot3 =-16-6=-22. \]
6.
\[
\lg 10^5-3\ln e^4
=5-3\cdot4
=5-12=-7.
\]
7.
\[
\sqrt3=3^{1/2},\qquad 27=3^3,\qquad 0{,}008=\frac1{125}=5^{-3}.
\]
\[ \log_{\sqrt3}27=\log_{3^{1/2}}3^3 =\frac3{1/2}=6. \]
\[ 6+3\log_5 0{,}008 =6+3\log_5 5^{-3} =6+3\cdot(-3) =6-9=-3. \]
8.
Сначала вычисляем внутренний логарифм:
\[ \log_2 128=\log_2 2^7=7. \]
Теперь:
\[ 5\log_{49}\log_2 128 =5\log_{49}7. \]
Так как \(49=7^2\), то
\[ \log_{49}7=\log_{7^2}7=\frac12. \]
Значит,
\[ 5\cdot\frac12=\frac52. \]
9.
\[
3\sqrt3=3\cdot3^{1/2}=3^{3/2},\qquad 81=3^4.
\]
\[ \log_{3\sqrt3}81 =\log_{3^{3/2}}3^4 =\frac4{3/2} =\frac83. \]
Далее:
\[ 0{,}03125=\frac1{32}=2^{-5}. \]
\[ \log_2 0{,}03125=\log_2 2^{-5}=-5. \]
Итого:
\[ \frac83-5 =\frac83-\frac{15}{3} =-\frac73. \]
10.
\[
16=2^4,\qquad 64=2^6.
\]
\[ \log_{16}64 =\log_{2^4}2^6 =\frac64 =\frac32. \]
Так как \(\frac1{27}=3^{-3}\), то
\[ 4\log_3\frac1{27} =4\cdot(-3)=-12. \]
Значит,
\[ \frac32-12 =\frac32-\frac{24}{2} =-\frac{21}{2}. \]
Ответы:
- \(16\)
- \(-5\)
- \(34\)
- \(1\)
- \(-22\)
- \(-7\)
- \(-3\)
- \(\frac52\)
- \(-\frac73\)
- \(-\frac{21}{2}\)
