1. На рисунке изображен прямоугольник ZFEB. Найдите:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
вариант 1

1. На рисунке изображен прямоугольник ZFEB. Найдите:
а) $|\vec{ZC}+\vec{FC}|$,
б) $|\vec{ZC}-\vec{FC}|$,
в) $|\vec{ZB}-\vec{ZF}|$,
если $ZF=14$, $FE=48$.
[Рисунок: прямоугольник ZFEB: F — верхний левый угол, E — верхний правый, Z — нижний левый, B — нижний правый; диагонали ZE и FB пересекаются в точке C.]

2. На рисунке изображен ромб TEHX. Найдите:
а) $|\vec{TE}+\vec{TX}|$,
б) $|\vec{TE}-\vec{TX}|$,
в) $|\vec{TE}-\vec{TH}|$,
если $XE=36$, $TH=160$.
[Рисунок: ромб TEHX: E — верхняя левая вершина, H — верхняя правая, T — нижняя левая, X — нижняя правая; диагонали TH и EX пересекаются в точке D.]

3. Найдите расстояние между точками $B(23;-3)$ и $O(27;-6)$.

4. Даны три точки: $T(-22;-18)$, $C(-14;-12)$ и $A(-6;-18)$. Докажите, что треугольник TCA равнобедренный.

5. Найдите координаты середины отрезка MO, если $M(-9;-6)$; $O(-17;2)$.

6. Даны три точки: $K(-18;-29)$, $B(-6;-19)$ и $S(19;-2)$. Найдите длину медианы SA треугольника KBS.

Answer

На фото весь вариант 1, поэтому разбираю все шесть заданий.

Краткие ответы

1. а) $48$; б) $14$; в) $50$.

2. а) $160$; б) $36$; в) $82$.

3. $5$.

4. $TC=CA=10$, поэтому треугольник $TCA$ равнобедренный; основание $TA$.

5. $(-13;-2)$.

6. $17\sqrt5$.

Разбор

1. Поместим вершины прямоугольника в координаты:
$$
Z(0;0),\quad B(48;0),\quad F(0;14),\quad E(48;14).
$$
Тогда точка пересечения диагоналей $C$ имеет координаты $(24;7)$. Значит,
$$
\vec{ZC}=(24;7),\qquad \vec{FC}=(24;-7).
$$
Отсюда:
$$
|\vec{ZC}+\vec{FC}|=|(48;0)|=48,
$$
$$
|\vec{ZC}-\vec{FC}|=|(0;14)|=14.
$$
Наконец,
$$
\vec{ZB}-\vec{ZF}=(48;0)-(0;14)=(48;-14),
$$
$$
|\vec{ZB}-\vec{ZF}|=\sqrt{48^2+14^2}=50.
$$

2. Обозначим $\vec{TE}=\mathbf u$, $\vec{TX}=\mathbf v$. В ромбе
$$
\vec{TH}=\mathbf u+\mathbf v,\qquad \vec{EX}=\mathbf v-\mathbf u.
$$
Поэтому:
$$
|\vec{TE}+\vec{TX}|=|\mathbf u+\mathbf v|=TH=160,
$$
$$
|\vec{TE}-\vec{TX}|=|\mathbf u-\mathbf v|=EX=36.
$$
Далее:
$$
|\vec{TE}-\vec{TH}|=|\mathbf u-(\mathbf u+\mathbf v)|=|\mathbf v|=TE.
$$
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому
$$
TE=\sqrt{\left(\frac{160}{2}\right)^2+\left(\frac{36}{2}\right)^2}
=\sqrt{80^2+18^2}=82.
$$

3. $$
BO=\sqrt{(27-23)^2+(-6-(-3))^2}
=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5.
$$

4. Считаем длины сторон:
$$
TC=\sqrt{(-14+22)^2+(-12+18)^2}
=\sqrt{8^2+6^2}=10,
$$
$$
CA=\sqrt{(-6+14)^2+(-18+12)^2}
=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10.
$$
Значит, $TC=CA$, то есть треугольник равнобедренный. Основание — $TA$.

5. Координаты середины отрезка — средние координат концов:
$$
\left(\frac{-9-17}{2};\frac{-6+2}{2}\right)=(-13;-2).
$$

6. Медиана $SA$ идёт из $S$ к середине $A$ стороны $KB$. Найдём $A$:
$$
A\left(\frac{-18-6}{2};\frac{-29-19}{2}\right)=(-12;-24).
$$
Тогда
$$
SA=\sqrt{(19+12)^2+(-2+24)^2}
=\sqrt{31^2+22^2}
=\sqrt{1445}=17\sqrt5.
$$

Проверка: в первом задании $14^2+48^2=50^2$, во втором $18^2+80^2=82^2$; результаты согласованы.

1. На рисунке изображен прямоугольник ZFEB. Найдите:

Обсуждение