через точку К провести плоскость, параллельную плоскости, заданной треугольником АВС. Плоскость задать прямыми общего положения.

Краткий ответ

Через точку \(K\) проводим две пересекающиеся прямые общего положения, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости \(ABC\):

\[ m \parallel AB,\qquad n \parallel AC,\qquad m \cap n = K. \]

Плоскость \(\alpha = (m,n)\) проходит через \(K\) и параллельна плоскости треугольника \(ABC\). Это и есть требуемое задание плоскости «прямыми общего положения» — двумя пересекающимися прямыми, не параллельными плоскостям проекций.

Почему это работает

1. Плоскость задаётся двумя пересекающимися прямыми. Так как \(m\) и \(n\) пересекаются в точке \(K\), через них проходит ровно одна плоскость \(\alpha\).
2. Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. У нас \(m \parallel AB \subset (ABC)\) и \(n \parallel AC \subset (ABC)\), а \(AB\) и \(AC\) пересекаются в точке \(A\). Значит, \(\alpha \parallel (ABC)\).

Как построить по шагам

1. В плоскости \(ABC\) выбираем две пересекающиеся прямые общего положения — удобнее всего стороны \(AB\) и \(AC\) (они не параллельны плоскостям проекций). Нельзя брать горизонталь или фронталь и нельзя задавать плоскость следами: условие требует именно прямых общего положения.
2. Переносим направление \(AB\) в точку \(K\): гипотенузу угольника прикладываем к \(AB\), к катету — линейку, сдвигаем угольник вдоль линейки до \(K\) и проводим \(m \parallel AB\).
3. Тем же приёмом переносим направление \(AC\): получаем \(n \parallel AC\), причём \(m \cap n = K\).
4. Подписываем построенное: \(\alpha = (m,n)\) — искомая плоскость.

Проверка

• \(m \parallel AB\), а \(AB \subset (ABC)\), значит \(m \parallel (ABC)\); аналогично \(n \parallel (ABC)\).
• Пусть вопреки построению \(\alpha\) пересекает \((ABC)\) по прямой \(l\). Тогда прямая \(m\), параллельная плоскости \((ABC)\) и лежащая в \(\alpha\), параллельна линии пересечения: \(m \parallel l\); так же \(n \parallel l\). Но \(m \parallel AB\), \(n \parallel AC\), а \(AB\) и \(AC\) пересекаются — значит, \(m\) и \(n\) тоже пересекаются, а параллельными одной прямой \(l\) быть не могут. Противоречие, то есть \(\alpha \parallel (ABC)\).
• Единственность: через точку \(K\), не лежащую в плоскости \(ABC\), проходит ровно одна плоскость, параллельная \(ABC\), поэтому построенная плоскость — единственно возможная.

Если в варианте задана ещё и точка \(K_1\), построение повторяем от неё: через \(K_1\) проводим те же два направления \(AB\) и \(AC\).