Реши задание на изображении
Кратко: через точку \(K\) нужно провести две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости \(ABC\). Эти две прямые и зададут искомую плоскость.
Ход построения
В плоскости треугольника \(ABC\) выбери две пересекающиеся прямые общего положения \(a\) и \(b\).
Удобно взять, например, стороны \(AB\) и \(AC\), если они не являются линиями частного положения; иначе проведи внутри треугольника две произвольные наклонные прямые (например, медианы).Через точку \(K\) проведи: \[ a_1 \parallel a,\qquad b_1 \parallel b. \] Прямые \(a_1\) и \(b_1\) пересекаются в точке \(K\).
Обозначь искомую плоскость: \[ \alpha=(a_1,b_1). \] Она задана двумя пересекающимися прямыми \(a_1\) и \(b_1\), то есть именно так, как требуется в условии — прямыми общего положения.
Почему это верно
Пусть \(\beta=(ABC)\). Тогда \[ a_1\parallel a\subset\beta,\qquad b_1\parallel b\subset\beta, \] причём \(a\) и \(b\) пересекаются, а \(a_1\) и \(b_1\) тоже пересекаются. Значит, две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, поэтому \[ \alpha\parallel\beta. \]
Проверка: если построение выполнено правильно, прямые \(a_1\) и \(b_1\) не должны пересекать плоскость \(ABC\); они параллельны соответствующим прямым этой плоскости. Через точку вне плоскости можно провести ровно одну плоскость, параллельную данной, поэтому ответ единственный.
На аксонометрическом чертеже \(K'\) — вспомогательная (вторичная) проекция точки \(K\); сама плоскость проводится через пространственную точку \(K\).
Обсуждение
2 сообщенияРеши задачу
На чертеже \(ABC\) — треугольник в пространстве, \(A'B'C'\) — его вторичная проекция, \(K'\) — вторичная проекция точки \(K\).
Построение
В плоскости \(ABC\) выбираем две пересекающиеся прямые общего положения, например \(AB\) и \(AC\). Если стороны треугольника на чертеже расположены частным образом, берём две произвольные наклонные прямые внутри треугольника.
Через точку \(K\) проводим прямую \[ m\parallel AB. \] В аксонометрии строим обе проекции: \[ m\parallel AB,\qquad m'\parallel A'B', \] причём \(m\) проходит через \(K\), а \(m'\) — через \(K'\).
Так же через \(K\) проводим вторую прямую \[ n\parallel AC, \] а её вторичную проекцию — \[ n'\parallel A'C', \] через \(K'\).
Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются в точке \(K\). Искомая плоскость задаётся этими двумя пересекающимися прямыми: \[ \alpha=(m,n). \]
Почему это верно
В плоскости \(ABC\) есть две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AC\). Через \(K\) проведены две пересекающиеся прямые \(m\) и \(n\), соответственно параллельные им: \[ m\parallel AB,\qquad n\parallel AC. \] По признаку параллельности плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, значит, \[ \alpha\parallel (ABC). \]
Ответ: искомая плоскость — это плоскость, заданная прямыми \(m\) и \(n\), проходящими через \(K\) и параллельными двум непараллельным прямым плоскости \(ABC\).
