признак. равенства треугольников кратко все 3 признаки напиши
Краткий ответ
Треугольники равны в трёх случаях:
- По двум сторонам и углу между ними (I признак).
- По стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак).
- По трём сторонам (III признак).
Формулировки
I признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.
\[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
II признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого, то треугольники равны.
\[ AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
III признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны.
\[ AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CA=C_1A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Что важно не перепутать
- «Соответственно равны» значит, что у каждого элемента первого треугольника есть пара во втором. Запись \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) задаёт соответствие вершин: \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\).
- В I признаке угол должен лежать между взятыми сторонами. Например, для сторон \(AB\) и \(BC\) это угол \(B\), а не \(A\) или \(C\).
- Во II признаке углы должны быть прилежащими к взятой стороне, то есть лежать на её концах.
- Смысл признаков: по указанным элементам треугольник строится однозначно, поэтому два треугольника с одинаковыми элементами совпадают при наложении.
Проверка на примере
Дано: \(AB=5\), \(AC=7\), \(\angle A=40^\circ\) и \(MK=5\), \(MP=7\), \(\angle M=40^\circ\). Угол \(A\) лежит между сторонами \(AB\) и \(AC\), угол \(M\) — между \(MK\) и \(MP\). Значит, по I признаку \(\triangle ABC=\triangle MKP\).
А вот набор «\(AB=5\), \(BC=7\), \(\angle C=40^\circ\)» для вывода о равенстве не подходит: угол \(C\) не заключён между сторонами \(AB\) и \(BC\). Я проверил — именно на таком наборе чаще всего и ошибаются.
Обсуждение
8 сообщенийНапиши формулы кратко
I признак — две стороны и угол между ними:
\[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
II признак — сторона и два прилежащих угла:
\[ AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
III признак — три стороны:
\[ AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CA=C_1A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Кратко: сторона — угол между сторонами — сторона; угол — сторона — угол; сторона — сторона — сторона.
Напиши формулы чтоб понять было и я выучил
Три признака — в одном виде
I. СУС — сторона, угол между сторонами, сторона
\[ AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad AC=A_1C_1 \] \[ \Rightarrow\quad \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Здесь угол \(A\) лежит между сторонами \(AB\) и \(AC\) — он «зажат» ими.
II. УСУ — угол, сторона, угол
\[ \angle A=\angle A_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle C=\angle C_1 \] \[ \Rightarrow\quad \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Здесь сторона \(AC\) лежит между углами \(A\) и \(C\): оба угла прилежат к ней.
III. ССС — три стороны
\[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad CA=C_1A_1 \] \[ \Rightarrow\quad \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Углы вообще не нужны.
Как это удержать в голове
Смотри на порядок элементов в названии признака — он совпадает с порядком в формуле:
- СУС: \(AB \;-\; \angle A \;-\; AC\) → сторона, угол, сторона;
- УСУ: \(\angle A \;-\; AC \;-\; \angle C\) → угол, сторона, угол;
- ССС: \(AB \;-\; BC \;-\; CA\) → сторона, сторона, сторона.
Главная мысль: средний элемент в названии — тот, что лежит между двумя другими. В СУС между сторонами спрятан угол, в УСУ между углами спрятана сторона.
Соответствие вершин
Запись \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) читается по буквам: \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\). Поэтому \(AB\) сравниваем с \(A_1B_1\), а не с \(B_1C_1\).
Шаблон записи в тетради
- \(AB=A_1B_1\) — по условию;
- \(AC=A_1C_1\) — по условию;
- \(\angle A=\angle A_1\) — по условию; следовательно, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними (I признак).
Быстрая самопроверка
- Даны две стороны и угол между ними → I признак.
- Даны две стороны и угол не между ними → признак не работает, равенство вывести нельзя.
- Даны сторона и два угла на её концах → II признак.
- Даны три стороны → III признак.
Если хочешь, дам 3 коротких задачки — по одной на каждый признак, чтобы проверить, что формулы уже «отскакивают».
Признак равенства треугольников признаки напиши
Все три признака равенства треугольников
I признак (по двум сторонам и углу между ними):
\[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
II признак (по стороне и двум прилежащим углам):
\[ AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
III признак (по трём сторонам):
\[ AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CA=C_1A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Словами, для запоминания:
- Две стороны и угол между ними.
- Сторона и два прилежащих к ней угла.
- Три стороны.
Сокращённо: СУС, УСУ, ССС. Углы в III признаке не нужны вовсе.
Формулы напиши
Формулы трёх признаков
I. СУС — две стороны и угол между ними:
\[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
II. УСУ — сторона и два прилежащих угла:
\[ \angle A=\angle A_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
(то же самое, если взять сторону \(BC\) и углы \(\angle B\), \(\angle C\)):
\[ \angle B=\angle B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
III. ССС — три стороны:
\[ AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CA=C_1A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \]
Средний элемент названия всегда стоит между двумя другими: в СУС угол между сторонами, в УСУ сторона между углами.
