Реши так как я должна решить в тетради

Краткие ответы

1. а) \(\frac{1}{25}=0{,}04\); б) \(12\); в) \(27\)
2. а) \(a^{2}\); б) \(20xy\)
3. а) \(\frac{6x^{4}}{y^{3}}\); б) \(\frac{40a^{15}}{9b^{3}}\)
4. \(512\)
5. \(\frac{2c}{b}\)

Как оформить решение в тетради

Правила, которые здесь работают: \[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}. \]

1. Найдите значение выражения

а) \(5^{-4}\cdot 5^{2}=5^{-4+2}=5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}=0{,}04\)

б) \(12^{-3}:12^{-4}=12^{-3-(-4)}=12^{1}=12\)

в) \((3^{-1})^{-3}=3^{(-1)\cdot(-3)}=3^{3}=27\)

2. Упростите выражение

а) \((a^{-5})^{4}\cdot a^{22}=a^{-20}\cdot a^{22}=a^{-20+22}=a^{2}\)

б) \(0{,}4x^{6}y^{-8}\cdot 50x^{-5}y^{9}=(0{,}4\cdot 50)\cdot x^{6+(-5)}\cdot y^{-8+9}=20xy\)

3. Преобразуйте выражение

а) \(\left(\frac{1}{6}x^{-4}y^{3}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{6}\right)^{-1}\cdot (x^{-4})^{-1}\cdot (y^{3})^{-1}=6x^{4}y^{-3}=\frac{6x^{4}}{y^{3}}\)

б) Сначала перевернём дробь из-за степени \(-2\), затем возведём в квадрат: \[ \left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2}=\left(\frac{2b^{-3}}{3a^{-4}}\right)^{2}=\frac{4b^{-6}}{9a^{-8}}=\frac{4a^{8}}{9b^{6}}. \] Теперь умножим: \[ \frac{4a^{8}}{9b^{6}}\cdot 10a^{7}b^{3}=\frac{40a^{8+7}b^{3}}{9b^{6}}=\frac{40a^{15}}{9b^{3}}. \]

4. Вычислите

Переведём всё к основанию \(2\): \(4=2^{2}\), \(8=2^{3}\): \[ \frac{2^{-6}\cdot 4^{-3}}{8^{-7}}=\frac{2^{-6}\cdot (2^{2})^{-3}}{(2^{3})^{-7}}=\frac{2^{-6}\cdot 2^{-6}}{2^{-21}}=\frac{2^{-12}}{2^{-21}}=2^{-12-(-21)}=2^{9}=512. \]

5. Выполните действия

\[ \left(\frac{a^{-3}b^{2}}{2c}\right)^{2}\cdot\frac{a^{6}(2c)^{3}}{b^{5}} =\frac{a^{-6}b^{4}}{4c^{2}}\cdot\frac{8a^{6}c^{3}}{b^{5}} =\frac{8a^{-6+6}b^{4-5}c^{3-2}}{4} =\frac{8a^{0}b^{-1}c}{4} =\frac{2c}{b}. \]

Проверка: в №4 сумма показателей даёт \(2^{9}=512\); в №5 если подставить \(a=b=c=1\), исходное выражение равно \(\left(\frac12\right)^2\cdot 8=2\), и ответ \(\frac{2c}{b}=2\) — сходится.