1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 2.
Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\), а точка \(M\) — на стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\), причём \(AK = KB\), \(CM : MD = 2 : 5\). а) Выразите вектор \(\overrightarrow{KM}\) через векторы \(\vec p = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec q = \overrightarrow{AD}\). б) Может ли при каком-нибудь значении \(x\) выполняться равенство \(\overrightarrow{KM} = x \cdot \overrightarrow{CB}\)?
Найдите координаты и длину вектора \(\vec a\), если \(\vec a = \frac{1}{3}\vec b - \vec c\), \(\vec b \{3; -9\}\), \(\vec c \{-6; 2\}\).
Даны координаты вершин параллелограмма \(ABCD\): \(A (-6; 1), B (0; 5), C (6; -4), D (0; -8)\). Докажите, что \(ABCD\) — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей \(O\).
Окружность задана уравнением \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16\). Напишите уравнение прямой, проходящей через её центр и параллельной оси абсцисс.
На фото — вариант 2, задания 1–4. Ниже решения всех четырёх.
Краткие ответы
- а) \(\overrightarrow{KM}=\dfrac{3}{14}\vec p+\vec q\); б) нет, ни при каком \(x\).
- \(\vec a=(7;-5)\), \(|\vec a|=\sqrt{74}\).
- \(ABCD\) — прямоугольник; \(O\left(0;-\dfrac32\right)\).
- \(y=2\).
1. Векторы в параллелограмме
Точка \(K\) — середина \(AB\), поэтому
\[ \overrightarrow{AK}=\frac12\vec p. \]
Точка \(M\) делит \(CD\) в отношении \(CM:MD=2:5\), значит на \(CM\) приходится \(2\) части из \(7\):
\[ \overrightarrow{CM}=\frac27\overrightarrow{CD}. \]
Но \(\overrightarrow{CD}=-\vec p\), поэтому
\[ \overrightarrow{CM}=-\frac27\vec p. \]
Далее:
\[ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM} =(\vec p+\vec q)-\frac27\vec p =\frac57\vec p+\vec q. \]
Тогда
\[ \overrightarrow{KM} =\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK} =\left(\frac57\vec p+\vec q\right)-\frac12\vec p =\frac{3}{14}\vec p+\vec q. \]
Ответ:
\[
\overrightarrow{KM}=\frac{3}{14}\vec p+\vec q.
\]
б) Может ли \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\)?
\[ \overrightarrow{CB}=-\vec q. \]
Если бы равенство выполнялось, то
\[ \frac{3}{14}\vec p+\vec q=-x\vec q, \]
то есть
\[ \frac{3}{14}\vec p+(1+x)\vec q=\vec0. \]
Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) не коллинеарны, поэтому коэффициенты при них должны быть нулевыми. Но \(\frac{3}{14}\neq0\). Противоречие.
Ответ: нет, ни при каком \(x\).
2. Координаты и длина вектора
\[ \vec a=\frac13\vec b-\vec c. \]
Считаем по координатам:
\[ \vec a=\left(\frac13\cdot3-(-6);\ \frac13\cdot(-9)-2\right) =(1+6;\ -3-2) =(7;-5). \]
Длина:
\[ |\vec a|=\sqrt{7^2+(-5)^2} =\sqrt{49+25} =\sqrt{74}. \]
Ответ: \(\vec a=(7;-5)\), \(|\vec a|=\sqrt{74}\).
3. Прямоугольник и точка пересечения диагоналей
Проверим перпендикулярность соседних сторон. Возьмём векторы:
\[ \overrightarrow{BA}=(-6;-4),\qquad \overrightarrow{BC}=(6;-9). \]
Их скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =(-6)\cdot6+(-4)\cdot(-9) =-36+36=0. \]
Значит, \(BA\perp BC\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Точка пересечения диагоналей — их середина. Например, по диагонали \(AC\):
\[ O\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right) =O\left(0;-\frac32\right). \]
Проверка по второй диагонали \(BD\):
\[ O\left(\frac{0+0}{2};\frac{5+(-8)}{2}\right) =\left(0;-\frac32\right). \]
Ответ: \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\left(0;-\dfrac32\right)\).
4. Уравнение прямой
Уравнение окружности имеет вид
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \]
Сравнивая с
\[ (x+1)^2+(y-2)^2=16, \]
получаем центр:
\[ (-1;2). \]
Прямая, параллельная оси абсцисс, горизонтальна, то есть имеет вид \(y=c\). Через центр \((-1;2)\) проходит прямая \(y=2\).
Ответ: \(y=2\).
Обсуждение
10 сообщенийНа фото тот же вариант 2, задания 1–4, которые я уже разобрал выше. Итоговые ответы:
а) \(\overrightarrow{KM}=\dfrac{3}{14}\vec p+\vec q\);
б) равенство \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\) невозможно ни при каком \(x\).\(\vec a=(7;-5)\), \(|\vec a|=\sqrt{74}\).
\(ABCD\) — прямоугольник, так как
\[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-6;-4)\cdot(6;-9)=0. \] Точка пересечения диагоналей: \[ O\left(0;-\frac32\right). \]Центр окружности — \((-1;2)\), прямая параллельна оси абсцисс, поэтому \[ y=2. \]
Могу подробнее расписать любой из пунктов.
Это продолжение: на изображении тот же вариант 2 (задания 1–4 по теме «Векторы. Метод координат»), который мы уже разбираем. Даю полное решение.
1. Вектор \(\overrightarrow{KM}\) в параллелограмме
Дано: \(AK=KB\), значит \(K\) — середина \(AB\); \(CM:MD=2:5\), значит на \(CD\) всего \(7\) частей.
\[ \overrightarrow{AK}=\frac12\vec p,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec p+\vec q. \]
Так как \(\overrightarrow{CD}=-\vec p\):
\[ \overrightarrow{CM}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CD}=-\frac{2}{7}\vec p. \]
\[ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM} =\vec p+\vec q-\frac{2}{7}\vec p =\frac{5}{7}\vec p+\vec q. \]
\[ \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK} =\frac{5}{7}\vec p+\vec q-\frac12\vec p =\frac{3}{14}\vec p+\vec q. \]
а) Ответ: \(\overrightarrow{KM}=\dfrac{3}{14}\vec p+\vec q\).
б) \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Если \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\), то
\[ \frac{3}{14}\vec p+\vec q=-x\vec q \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{14}\vec p+(1+x)\vec q=\vec0. \]
Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) не коллинеарны, поэтому коэффициенты при них должны быть равны нулю, но \(\frac{3}{14}\neq0\). Противоречие.
Ответ: нет, ни при каком \(x\).
2. Координаты и длина \(\vec a\)
\[ \vec a=\frac13\vec b-\vec c =\left(\frac13\cdot3-(-6);\ \frac13\cdot(-9)-2\right) =(7;-5). \]
\[ |\vec a|=\sqrt{7^2+(-5)^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}. \]
Ответ: \(\vec a=(7;-5)\), \(|\vec a|=\sqrt{74}\).
3. Прямоугольник и точка \(O\)
Сначала убеждаемся, что это параллелограмм:
\[ \overrightarrow{AB}=(6;4),\qquad \overrightarrow{DC}=(6;-4)- (0;-8)=(6;4). \]
Значит, \(AB\parallel DC\) и \(AB=DC\).
Теперь проверяем прямой угол при вершине \(B\):
\[ \overrightarrow{BA}=(-6;-4),\qquad \overrightarrow{BC}=(6;-9), \] \[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-6)\cdot6+(-4)\cdot(-9)=-36+36=0. \]
Угол \(B\) прямой, поэтому параллелограмм — прямоугольник.
Точка пересечения диагоналей — их середина, например \(AC\):
\[ O\left(\frac{-6+6}{2};\ \frac{1+(-4)}{2}\right)=\left(0;-\frac32\right). \]
Проверка по \(BD\): \(\left(\frac{0+0}{2};\frac{5+(-8)}{2}\right)=\left(0;-\frac32\right)\).
Ответ: \(ABCD\) — прямоугольник; \(O\left(0;-\dfrac32\right)\).
4. Прямая через центр окружности
Из уравнения
\[ (x+1)^2+(y-2)^2=16 \]
центр окружности — точка \((-1;2)\).
Прямая, параллельная оси абсцисс, горизонтальна: \(y=c\). Через центр проходит
\[ y=2. \]
Ответ: \(y=2\).
Если нужно, разберу отдельно, как получается отношение \(CM:MD\) в первом номере или как проверять прямоугольник через длины сторон.
Это продолжение: на фото тот же вариант 2, задания 1–4, которые мы уже разобрали. Полное решение повторять не буду — вот компактная сводка для самопроверки:
- а) \(\overrightarrow{KM}=\dfrac{3}{14}\vec p+\vec q\);
б) нет, равенство невозможно ни при каком \(x\). - \(\vec a=(7;-5)\), \(|\vec a|=\sqrt{74}\).
- \(ABCD\) — прямоугольник (например, \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\));
\(O\left(0;-\dfrac32\right)\). - \(y=2\).
Что нужно дальше: проверить твоё решение, подробнее разобрать конкретный шаг или оформить ответы в чистовик?
Это продолжение текущей работы: на изображении фрагмент уже разобранного варианта — задание 3 с теми же координатами вершин \(A(-6;1)\), \(B(0;5)\), \(C(6;-4)\), \(D(0;-8)\).
Задание 3.
\[ \overrightarrow{BA}=A-B=(-6;-4),\qquad \overrightarrow{BC}=C-B=(6;-9). \]
\[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =(-6)\cdot6+(-4)\cdot(-9) =-36+36=0. \]
Значит, \(BA\perp BC\), то есть угол при вершине \(B\) прямой. Так как по условию \(ABCD\) — параллелограмм, параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Точка пересечения диагоналей — середина каждой из них. Найдём середину \(AC\):
\[ O\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1-4}{2}\right) =O\left(0;-\frac{3}{2}\right). \]
Проверка по диагонали \(BD\):
\[ O\left(\frac{0+0}{2};\frac{5-8}{2}\right) =\left(0;-\frac{3}{2}\right). \]
Ответ: \(ABCD\) — прямоугольник;
\[
O\left(0;-\frac{3}{2}\right).
\]
Это продолжение: на фото задание 4 из того же варианта 2, которое мы уже разбирали.
Задание 4
Окружность задана уравнением
\[ (x+1)^2+(y-2)^2=16. \]
Общий вид уравнения окружности:
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, \]
где \((x_0;y_0)\) — центр, \(R\) — радиус. Сравнивая, получаем центр:
\[ (-1;\,2). \]
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси \(Ox\)), горизонтальна, поэтому её уравнение имеет вид
\[ y=c. \]
Она проходит через центр \((-1;2)\), значит \(c=2\).
Ответ:
\[ y=2. \]
Пояснение: ось абсцисс — это \(y=0\); все прямые, параллельные ей, задаются уравнением \(y=c\). Через точку с ординатой \(2\) проходит прямая \(y=2\).
